\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+ab=2a+4\\ab+a+2b=1\end{matrix}\right.\)

Cho a,b là các số thực sao cho với mọi c > 0 ta có a < b+c

Chứng minh : \(a\le b\)

\(\sqrt{a+b}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\sqrt{a+b}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le\dfrac{\dfrac{2}{3}+a+b}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

\(\text{Tương tự :}\sqrt{b+c}\le\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\dfrac{\dfrac{2}{3}+b+c}{2};\sqrt{c+a}\le\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\dfrac{\dfrac{2}{3}+c+a}{2}\)

\(\text{Khi đó :}S\le\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\dfrac{2+2\left(a+b+c\right)}{2}=\sqrt{6}\)

\(\text{Vậy maxS=}\sqrt{6}\text{ khi }a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(GT\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)

Ta có :\(\dfrac{1}{4x+3y+z}=\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(Tương\text{ }tự:\dfrac{1}{x+4y+3z}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{3}{z}\right);\dfrac{1}{3x+y+4z}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{4}{z}\right)\)Khi đó :

\(M\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\right)=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{8}\)

\(\text{Dấu '=' xảy ra khi :x=y=z=3}\)

\(\text{Vậy maxP=}\dfrac{1}{8}\text{ khi x=y=z=3}\)

1/ Nếu cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT của đường tròn (O;R) ,T là tiếp điểm thì MT²=MA.MB

2/Cho hai đường thẳng x,y cắt nhau tại M.Hai điểm A,B thuộc x,điểm T thuộc y sao cho MT²=MA.MB thì MT là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm T,A,B(T là tiếp điểm)