Cho hình vuông ABCD, đường tròn \(\left(O\right)\) nội tiếp hình vuông tiếp xúc các cạnh AB, AD lần lượt tại E, F. G là giao điểm các đường thẳng CE và BF.
a, Chứng minh 5 điểm A, F, O, G, E cùng nằm trên 1 đường tròn
b, Gọi giao điểm của đường thẳng FB và đường tròn là M \(\left(M\ne F\right)\). Chứng minh M là trung điểm BG.
c, Chứng minh rằng trực tâm \(\Delta GAF\) nằm trên đường tròn \(\left(O\right)\)
Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định \(\left(O\notin AB\right)\). C là điểm di động trên đoạn AB \(\left(C\ne A,B\right)\). Đường tròn tâm P đi qua điểm C và tiếp xúc với \(\left(O\right)\) tại A, đường tròn tam Q đi qua điểm và tiếp xúc với \(\left(O\right)\) tại B. Các đường tròn \(\left(P\right);\left(Q\right)\) cắt nhau tại điểm thứ hai là M. Các tiếp tuyến của \(\left(O\right)\) tại A, B cắt nhau tại I.
a, Chứng minh MC là tia phân giác góc AMB và các điểm A, M, O, B, I cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh khi điểm C thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc một đường thẳng cố định.
1. Giải hệ pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-4xy\left(\frac{2}{x-y}-1\right)=4\left(4+xy\right)\\\sqrt{x-y}+3\sqrt{2y^2-y+1}=2y^2-x+3\end{matrix}\right.\)
2. Cho tam giác ABC nhọn \(\left(AB< AC\right)\), nội tiếp đường tròn \(\left(O\right)\), có đường cao AD \(\left(D\in BC\right)\). Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm E, G sao cho \(BE=BD\) và \(CG=CD\). Gọi F là điểm đối xứng với điểm E qua điểm B, H là điểm đối xứng với điểm G qua điểm C.
a, Chứng minh rằng tứ giác GEFH nội tiếp
b, Kẻ đường kính AK của đường tròn \(\left(O\right)\). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng KI cắt đường tròn tại \(\left(O\right)\) taị điểm thứ hai P. Chứng minh \(PE=PG\)
c, Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Đường thẳng JK cắt \(\left(O\right)\) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh rằng hai tám giác PIE và QJF đồng dạng với nhau.