Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm 0.M là một điểm bất kỳ trên đường tròn đó. Gọi A, B',C' lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thắng BC, CA, AB.

a) Chứng minh các tứ giác BC AM và CA MB nội tiếp.

b) Chứng minh 3 diểm A' , B', C' thẳng hàng.

c) Trên đường tròn tâm O dã cho lấy điểm \(M_1\ne M\). Gọi  lần lượt là hình chiếu của \(M_1\) lên các đường thằng BC, CA, AB. Tim vị trí của điểm M, trên dường tròn tâm O để đường thẳng \(A_1B_1\) , vuông góc với đường thẳng B'C'.

Giải PT: \(\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+2}\)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và C là một điểm cố định nằm giữa A và B. L hat a y điểm D trên nửa đường tròn (D khác A và B). Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt các tiếp tuyến Ax, By tại M và N. Gọi P là giao điểm của AD và CM; Q là giao điểm của BD và CN. Chứng minh rằng:

a)Tứ giác CQDP nội tiếp đường tròn.

b) AM.BN=AC.BC

c) Qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt Ax và By lần lượt tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác AED và BFD.

\(\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+2}\)