⎧⎪⎨⎪⎩x−y=61741(1)y−z=14197(2)7√x+7√y+7√z=12(3){x−y=61741(1)y−z=14197(2)x7+y7+z7=12(3)
Giả sử: x < 0 ⇒⇒ y < 0 ⇒⇒ z < 0 ⇒⇒ 7√x+7√y+7√z<0x7+y7+z7<0 ⇒⇒ Vô nghiệm
Với x > 0:
(+) y < 0 ⇒⇒ z < 0 ⇒⇒ Vô nghiệm (x không thỏa mãn (1);(3))
(+) Với y > 0
(-) z < 0 (Vô nghiệm) (CM tương tự)
(-) z > 0 ⇒⇒ x + y + z > 0
Ta có:
y−z=14197⇒y=14197+zy−z=14197⇒y=14197+z (1)
{x−y=61741y−z=14197{x−y=61741y−z=14197 ⇒⇒ x−z=75938x−z=75938 ⇒⇒ x=75938+zx=75938+z (2)
Thay (1), (2) vào 7√x+7√y+7√z=12x7+y7+z7=12 ta được:
7√75938+z+7√14197+z+7√z=1275938+z7+14197+z7+z7=12
Ta có: Với z > 0 thì 7√75938+z>4,9775938+z7>4,97
Vì x, y, z > 0 nên 7√x>4,97x7>4,97
Xét x, z là số nguyên:
Với 7√x=5⇒z=2187x7=5⇒z=2187 (z là số nguyên nhỏ nhất có thể tìm được để x nguyên)
Thử lại thấy đúng nên ta tìm được x = 78125; y = 16384; z = 2187
Xét x không là số nguyên:
Với 7√x>5x7>5 ⇒⇒ Không có nghiệm x, y, z thỏa mãn hpt trên
Với 4,97<7√x<54,97<x7<5 ⇒⇒ Không có nghiệm x, y, z thỏa mãn hpt trên
Vậy x = 78125; y = 16384; z = 2187