Với n = 2 thì \(\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\)

Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k

=> \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}>\sqrt{K}\)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k+1

Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}>\sqrt{K}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}\)

= \(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}\)

Mà ta lại có

\(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}-\sqrt{K+1}\)

= \(\frac{\sqrt{K^2+K}-K}{\sqrt{K+1}}>0\)

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1

=> Điều phải chứng minh