\(ĐKXĐ:\dfrac{74}{27}\le x\le\dfrac{10}{3}\)

PT đã cho tương đương với:

\(4-3\sqrt{10-3x}=x^2-4x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+3+3\sqrt{10-3x}-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)-3\left(1-\sqrt{10-3x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)-3.\dfrac{3\left(x-3\right)}{1+\sqrt{10-3x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-1-\dfrac{9}{1+\sqrt{10-3x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\left(1\right)\\\left(x-1\right)\left(1+\sqrt{10-3x}\right)=9\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow x=3\left(tm\right)\)

\(pt\left(2\right):\left(x-1\right)\left(1+\sqrt{10-3x}\right)=9\)

mà \(\left(x-1\right)\left(1+\sqrt{10-3x}\right)\le\dfrac{7}{3}.\dfrac{7}{3}\) nên \(pt\left(2\right)\) vô nghiệm

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{3\right\}\)

Bài này có nhiều cách làm, vẽ thêm đường phụ cũng được, dùng định lý Menelaus cũng được nhưng lớp 10 thì nên dùng vecto

Ta có:

\(k=\dfrac{AG}{AB}=1-\dfrac{BG}{AB}=1-\dfrac{DE}{AB}=1-\dfrac{2DE}{3EF}\)

Đặt \(\dfrac{AD}{AM}=m\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{ED}=m\overrightarrow{EM}+\left(1-m\right)\overrightarrow{EA}\)

\(=m\left(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CM}\right)+\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)\overrightarrow{AC}\)

\(=\dfrac{2}{3}m\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}m\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)\overrightarrow{AC}\)

\(=\left(m-\dfrac{1}{3}\right)\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}m\overrightarrow{CB}\)

Lại có: \(\overrightarrow{EF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)

Mà \(D,E,F\) thẳng hàng nên:

\(\left(m-\dfrac{1}{3}\right)\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}m.\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{ED}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}EF\)\(\Leftrightarrow\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow k=\dfrac{2}{3}\)

Ta có:

Khi \(x\in\left[-3;0\right]\) thì \(f\left(x\right)\in\left[-4;5\right]\) (dùng BBT)

Lại có:

\(y=f\left(f\left(x\right)\right)=f^2\left(x\right)+6f\left(x\right)+5\) 

Khi \(f\left(x\right)\in\left[-4;5\right]\) thì \(f\left(f\left(x\right)\right)\in\left[-4;60\right]\) (dùng BBT)

Do đó, \(m=-4\Leftrightarrow f\left(x\right)=-3\Leftrightarrow x=-2\)

và \(M=60\Leftrightarrow f\left(x\right)=5\Leftrightarrow x=0\)

\(\Rightarrow S=m+M=-4+60=56\)

Bạn xem lại đề

Ta có:

\(\dfrac{1}{cos^2x-sin^2x}+\dfrac{2tanx}{1-tan^2x}=\dfrac{1}{cos2x}+tan2x=\dfrac{1}{cos2x}+\dfrac{sin2x}{cos2x}=\dfrac{1+sin2x}{cos2x}=\dfrac{cos2x}{1-sin2x}\)

\(\Rightarrow P=a+b=2+1=3\)

\(\text{ĐKXĐ:}1\le x\le7\)

PT đã cho tương đương với:

\(x-1-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{7-x}-\sqrt{x-1}.\sqrt{7-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{7-x}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{7-x}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=\sqrt{7-x}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=7-x\\x-1=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=5\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có tập nghiệm \(S=\left\{4;5\right\}\)

a)Trong mp(ABCD), gọi \(O=AC\cap BD\)

   Trong mp(SAC), gọi \(P=SO\cap AM\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}P\in AM\\P\in SO\subset \left(SBD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\) là giao điểm của AM với (SBD)

b) Trong mp(ABCD), gọi \(E=AN\cap CD\)

    Trong mp(SCD), gọi \(Q=ME\cap SD\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}Q\in SD\\Q\in ME\subset\left(AMN\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow Q\) là giao điểm của SD với (AMN)