Học tại trường Chưa có thông tin
Đến từ Quảng Nam , Chưa có thông tin
Số lượng câu hỏi 37
Số lượng câu trả lời 916
Điểm GP 8
Điểm SP 569

Người theo dõi (41)

Đang theo dõi (24)

Lynny Love
Kim Thinn
Doremon
MinhKhue Nguyen

Câu trả lời:

\(-----------\)

Đặt  \(\alpha=\frac{4x^2+9x+18\sqrt{x}+9}{4x\sqrt{x}+4x}\)và  \(t=\sqrt{x}\)  \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\alpha>0\\t>0\end{cases}\left(i\right)}\) với mọi  \(x>0\)

Khi đó, ta biểu diễn lại  \(\alpha\)  dưới dạng biến số  \(t\)  như sau:

\(\alpha=\frac{4t^4+9t^2+18t+9}{4t^3+4t^2}=\frac{3\left(4t^3+4t^2\right)+\left(4t^4-12t^3-3t^2+18t+9\right)}{4t^3+4t^2}\)  

nên  \(\alpha=3+\frac{\left(2t^2-3t-3\right)^2}{4t^3+4t^2}\ge0\)  với mọi  \(t>0\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}4t^3+4t^2>0\\2t^2-3t-3\ge0\end{cases}}\)  (do  \(\Delta_t>0\)  )

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi \(2t^2-3t-3=0\) 

Ta thành lập biệt thức  \(D=b^2-4ca\)  với tập xác định của pt là  \(t\in\left(0;\infty\right)\)  như sau:

\(\Delta_t=3^2+4.2.3=33\)

Do đó, ta tính được  \(t_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4};\)  \(t_2=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\)

Nhưng ta chỉ chấp nhận  

  \(t=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\)  (do điều kiện  \(\left(i\right)\) )  làm nghiệm duy nhất của pt.

\(\Rightarrow\)  \(x=\left(\frac{3+\sqrt{33}}{4}\right)^2=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

\(-----------\)

Mặt khác,  ta lại áp dụng bđt  \(AM-GM\) loại hai cho bộ số với hai số thực không âm gồm  \(\left(\frac{\alpha}{9};\frac{1}{\alpha}\right)\) , ta có:

\(A=\alpha+\frac{1}{\alpha}=\left(\frac{\alpha}{9}+\frac{1}{\alpha}\right)+\frac{8\alpha}{9}\ge2\left(\frac{\alpha}{9}.\frac{1}{\alpha}\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{8.3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\alpha=3\\\frac{\alpha}{9}=\frac{1}{\alpha}\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(\alpha=3\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)

Vậy,  \(A_{min}=\frac{10}{3}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=\frac{21+3\sqrt{33}}{8}\)