35/Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Lấy E là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng OA. Đường thẳng BE cắt AD tại M. Qua D vẽ một đường thẳng song song với BM, đường thẳng này cắt BC tại F và cắt AC tại N.

a. Chứng minh tứ giác BMDF là hình bình hành.

b. Chứng minh OBE = ODN.

c. Qua E vẽ một đường thẳng song song với BD, đường thẳng này cắt AD tại H, cắt CD kéo dài tại I. Gọi O’ là trung điểm của đoạn thẳng IH. Cm: O’O // DF

d. Gọi K là điểm đối xứng với D qua O’. Cm: K, M, B thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC.

a) Chứng minh ADEC là hình thang vuông.

b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua D. Chứng minh AFEC là hình bình hành.

c) CF cắt AE và AB lần lượt tại M và K, DM cắt AC tại N. Chứng minh ADEN là hình chữ nhật

d) Chứng minh \(S_{FBK}=4S_{FDK}\)

1. Chứng minh rằng với \(n\in N\) thì \(7^n+3n-1⋮9\)

Rút gọn biểu thức:

1) \(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\cdot\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

2) \(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right)\cdot\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

3) \(B=\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\cdot\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)\)

4) \(K=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{a-\sqrt{a}}\right)\div\left(\frac{1}{\sqrt{a}+1}-\frac{2}{a-1}\right)\)

Chứng minh đẳng thức sau:

\(\frac{2}{\sqrt{ab}}\div\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2-\frac{a+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}=-1\)

2) Cho ΔABC, \(\widehat{B}=60^o\), BC=8cm, AB+AC=12cm. Tính AB,AC.

3) Trong 1 tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác làm 2 phần có diện tích bằng 54cm2, 96cm2.Tính cạnh huyền.

4) ΔABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh: AH=3HD

\(\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}-\left(\sqrt{2}+3\right)\)

\(0.1\cdot\sqrt{\left(-3\right)^2}\cdot\left[6\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}\right]^2\)

\(\left(\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{12}+2}-\frac{\sqrt{54}}{3}\right)\cdot\frac{2}{\sqrt{6}}\)

\(\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}+\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\right)\div\left(1\div\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)\)

\(\sqrt{\frac{5+2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}}+\sqrt{\frac{5-2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}}\)

\(\left(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+1\right)\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)