Rút gọn biểu thức:

\(A=\sqrt{6+2\sqrt{2}\times\sqrt{3-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}}\)

Chứng minh rằng \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với \(n\in N^{\cdot}\))

Áp dụng cho S = \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Chứng minh 18<S<19 ?

Tích các giá trị x là nghiệm của phương trình để \(\frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{2}{3}\)

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là điểm nằm giữa B và M. Qua M kẻ đường thẳng song song với DA, cắt AC tại E. Tính tỉ số diện tích giữa tam giác DEC và tam giác ABC.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là điểm nằm giữa B và M. Qua M kẻ đường thẳng song song với DA, cắt AC ở E. Tính tỉ số diện tích giữa tam giác DEC và tam giác ABC.

Cho tam giác ABC, AC > AB, đường cao BI. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. kẻ BH và CK theo thứ tự là các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD. Chứng minh rằng:
a) AD < AC

b) BH + CK > BI