\(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}....\frac{.999}{1000}\)

\(=\frac{1.2.3.....999}{2.3.4.....1000}\)

\(=\frac{1}{1000}\)

Điều kiện \(x\ge0\)

Ta có : \(x+\sqrt{x}+1=x+\sqrt{x}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)với mọi x>= 0

 \(\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\le\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\)

Vậy GILN của \(\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{4}{3}\)khi \(x=\frac{1}{4}\)

Vì phân số có tổng của tử và mẫu là 2000. và phân số ko lớn hơn 1 nên tử số phải nhỏ hơn hoặc bằng mẫu số 

tử số có thể nhận các giá trị từ 0 đến 1000. là 1001 số

tương tự mẫu số có thể nhận các giá trị từ 2000 xuống 1000 là 1001 số.

vậy có tất cả 1001 phân số . 

Tìm GTLN của \(A=\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\)

Điều kiện: x>=0.

Xét mẫu số: \(M=x-\sqrt{x}+1=x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\ge0\)

Do đó, A lớn nhất khi mẫu M nhỏ nhất. M nhỏ nhất = 3/4 khi \(\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1\). Khi đó \(A=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\).

Kết luận, GTLN của A =4/3 khi x=1.