Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên cạnh AB vẽ hai điểm I , J đối xứng qua O . Gọi M là 1 điểm trên đường tròn , các đường thẳng MI ,MJ , MO cắt đường tròn tại C ,D,E .

a.Vẽ OG vuông góc với CD tại G. Chứng minh tứ giác GKDE nội tiếp

b. Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn O

giả sử \(a,b\in Z^+\) sao cho \(\left(a+b\right)^2+a+b⋮ab\) . Gọi d là 1 ước chung của a và b . CMR \(d< \left[\sqrt{a+b}\right]\)

Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định ( BC<2R) . Gọi điểm A điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE , ACFG và hình bình hành AEKG

a. DC cắt BF tại M . CM : A,K,M thẳng hàng

b. CMR : Khi A thay đổi trên cung lớn BC của ( O;R) thì K luôn luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O . Trên cung nhỏ BC lấy điểm M ( M khác A và B) . Gọi H , I , K lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB , BC , CA

a. CM : H, I , K thẳng hàng

b. Tìm vị trí của M để HK lớn nhất

Cho tam giác ABc , lấy D trên cạnh BC , vẽ đường tròn tâm I qua D tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường tròn tâm K qua D tiếp xúc với AC tại C . Gọi M là giao điểm của hai đường tròn đó

1. CM : tứ giác ABMC nội tiếp

2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . CM : 3 đường tròn tâm I, tâm K và tâm O đồng quy

3. CM : MD di chuyển qua 1 điểm cố định

Cho tam giác ABC và ABD vuông có chung cạnh huyền AB(C,D cùng thuôc 1 nữa mp có bờ là AB)

a. Chứng minh : 4 điểm A , B , C , D cùng thuộc 1 đường tròn và gọi đường tròn đó có tâm O

b. Chứng minh CD < AB

c. Giả sử 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M . Chứng minh \(OM=\dfrac{MA+MB}{2}\)