Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng d cắt các cạnh AB,CD tại M và N sao cho S_AMND = S_BMNC. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý ở trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi H , I, K lần lượt là điểm đối xứng của M qua D, E, F. Chứng minh rằng:

a) Ba đường thẳng AH, BI, CK đống quy tại một điểm O.

b) Khi M di động trong tam giác ABC thì đường thẳng OM luôn đi qua một điểm cố định.

Cho hình thang ABCD (AD//BC, AD>BC). M và N là hai điểm chuyển động trên hai cạnh AD và BC sao cho AM:BN=k (k là hằng số lớn hơn 1).

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

b) Tìm giá trị của k để đường thẳng MN đi qua giao điểm của hai đường thẳng AB và CD.

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Điểm M di động trên tia đối của tia CD (M không trùng với C). Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt đường thẳng BC tại N.

a) Chứng minh rằng tam giác MAN vuông cân.

b) Gọi E là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng ba điểm D,B,E thẳng hàng.

c) Xác định vị trí của điểm M sao cho tam giác EAC là tam giác đều.

Cho x,y,z là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{5}=\frac{z-2}{3}\) và \(3x+2y-5z+16=0\). Chứng minh rằng: \(P=x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}\) chia hết cho 4.

Cho 3 số thực dương a, b, c.

Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a\left(a+b\right)}+\frac{c}{b\left(b+c\right)}+\frac{a}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cho hình vuông ABCD cạnh a, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh BC lấy điểm N (\(0< NC\le NB\)), đường thẳng vuông góc với ON tại O cắt AB tại M. Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE.

1, Tam giác MON là tam giác gì? Vì sao?

2, Chứng minh: MN // BE.

3, Chứng minh: CK \(\perp\) BE.

4, Đường thẳng qua A vuông góc AN tại A cắt đường thẳng BC tại F. Biết diện tích tứ giác ACEF là 3a². Chứng minh rằng N là trung điểm BC.

Cho x, y, z thỏa mãn: \(x^3-y^2-y=y^3-z^2-z=z^3-x^2-x=\frac{1}{3}\)

Chứng minh rằng: x, y, z dương và x = y = z