Đặt \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
Theo đó, với \(a,b,c\) là các cạnh của tam giác thì \(a>0,\) \(b>0,\) \(c>0\) và các nhân tử \(b+c-a;\) \(a+c-b;\) \(a+b-c\) trong biểu thức đều dương (theo các bất đẳng thức về các cạnh trong tam giác, tức là \(b+c-a>0;\) \(a+c-b>0;\) \(a+b-c>0\)
Đặt \(a+b-c=x;\) \(a+c-b=y;\) \(b+c-a=z\) (với \(x,y,z>0\)) , ta được:
\(a=\frac{x+y}{2};\) \(b=\frac{x+z}{2};\) \(c=\frac{y+z}{2}\)
Khi đó, biểu thức \(A\) trở thành: \(A=\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\right]\)
Lại có: \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2;\) \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2;\) \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) với \(x,y,z>0\)
Do đó, \(A\ge\frac{1}{2}.6=3\)
Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
Vậy, \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\) khi tam giác có ba cạnh bằng nhau, tức là tam giác đều