C.90 

Ta chứng minh bổ đề:\(a+b^2\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+1}\) ( mọi a> 0 )

 \(\left(a+b\right)^2\le\left(a+b^2\right)\left(a+1\right)\left(\forall a>0\right)\) 

BĐT \(\Leftrightarrow ab^2-2ab+a\ge0\) 

\(\Leftrightarrow a\left(b-1\right)^2\ge0\) ( Đúng vì a>0 )

Từ đây suy ra \(\dfrac{1}{a+b^2}\le\dfrac{a+1}{\left(a+b\right)^2}\left(1\right)\) 

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\dfrac{1}{b+a^2}\le\dfrac{b+1}{\left(b+a\right)^2}\left(2\right)\)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: \(\dfrac{1}{a+b^2}+\dfrac{1}{b+a^2}\le\dfrac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\)

Vì \(a+b\ge2\) nên ta dự đoán \(\dfrac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge a+b+2\) \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-2\ge0\)\(\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right)\right]+\left[\left(a+b\right)-2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)+\left(a+b-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a+b+1\right)\ge0\) ( True ) vì a+b>= 2 

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b^2}+\dfrac{1}{b+a^2}\le\dfrac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\le1\)

=> GTLN M = 1 Dấu "=" xảy ra khi a=b=1

Việc mò đc bất phụ cũng hơi mệt :D 

định lý cosin: \(AB=\sqrt{CA^2+CB^2-2CACB\cos\left(78^024'\right)}\) 

Tự thay số nốt

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+y+1}+x+\sqrt{y^2+x+y+1}+y=18\left(1\right)\\\sqrt{x^2+x+y+1}-x+\sqrt{y^2+x+y+1}-y=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\xrightarrow[\left(1\right)-\left(2\right)]{\left(1\right)+\left(2\right)}\left\{{}\begin{matrix}2\left(\sqrt{x^2+x+y+1}+\sqrt{y^2+x+y+1}\right)=20\left(3\right)\\2\left(x+y\right)=16\Rightarrow x=8-y\left(4\right)\end{matrix}\right.\) 

Thay (4) vào (3) và thu gọn ta được: \(\left(\sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+9}\right)=10\left(5\right)\)  

Kết hợp (4) và (5): \(\left\{{}\begin{matrix}x=8-y\\\sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+9}=10\end{matrix}\right.\) rồi giải nốt :D good luck

? câu hỏi where

@Differentiation vậy oke chưa?? :<