Một số nguyên tố bất kì khi chia cho 3 sẽ có 3 khả năng dư: dư 0, dư 1, dư 2.
+) Nếu p chia cho 3 dư 0 suy ra p chia hết cho 3.
Khi đó:
p + 10 = 3 + 10 = 13 là số nguyên tố.
p + 14 = 3 + 14 = 17 là số nguyên tố.
+) Nếu p chia cho 3 dư 1 suy ra p có dạng 3k + 1.
Khi đó:
p + 14 = 3k + 1 + 14
= 3k + 15
= 3 . ( k + 3 ) chia hết cho 3 ( vì k + 3 thuộc N )
Mà 3 . ( k + 3 ) > 3 ( vì k thuộc N )
Suy ra 3 . ( k + 3 ) là hợp số hay p + 14 là hợp số.
+) Nếu p chia 3 dư 2 suy ra p có dạng 3k + 2.
Khi đó:
p + 10 = 3k + 2 + 10
= 3k + 12
= 3 . ( k + 4 ) chia hết cho 3 ( vì k + 4 thuộc N )
Mà 3 . ( k + 4 ) > 3 ( vì k thuộc N )
Suy ra 3 . ( k + 4 ) là hợp số hay p + 10 là hợp số.
Vậy p = 3 thỏa mãn đầu bài.