Bài 1a)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho từng cặp ta có

\(\left\{\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)

\(=>\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}\)

\(=>\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\sqrt{\left(abc\right)^2}\)

\(=>\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8abc\) ( điều phải chứng minh )

Bài 1b)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si bộ 3 số cho từng cặp ta có

\(\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\end{matrix}\right.\)

\(=>\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)

\(=>\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\sqrt[3]{\left(abc\right)^3}\)

\(=>\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9abc\) (điều phải chứng minh )

Bài 1c) Ta có

\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

\(=>1+a+b\left(1+a\right)\left(1+c\right)\ge1^3+3.1^2.\sqrt[3]{abc}+3.1.\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+\sqrt[3]{\left(abc\right)^3}\)

\(=>\left(1+a+b+ab\right)\left(1+c\right)\ge1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+abc\)

\(=>1+a+b+ab+c\left(1+a+b+ab\right)\ge1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+abc\)

\(=>1+a+b+ab+c+ca+bc+abc\ge1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+abc\)

\(=>a+b+c+ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si bộ 3 số cho vế trái ta có

\(\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\end{matrix}\right.\)

\(=>a+b+c+ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\) (điều phải chứng minh )

Vận tốc truyền âm trong nước 1500m/s

\(1m=\frac{1}{1000}km\\ 1s=\frac{1}{3600}h\)

Ta có 1500m/s = \(1500\frac{m}{s}\)

\(=>1500\frac{m}{s}=1500\frac{\frac{1}{1000}km}{\frac{1}{3600}h}=\frac{5400km}{h}\)=5400km/h

Vậy vận tốc truyền âm trong nước là 5400km/h

Ta có \(\frac{1+3y}{12}=\frac{1+6y}{16}\)

\(=>\frac{2\left(1+3y\right)}{24}=\frac{1+6y}{16}\)

\(=>\frac{2+6y}{24}=\frac{1+6y}{16}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(=>\frac{2+6y}{24}=\frac{1+6y}{16}=\frac{2+6y-\left(1+6y\right)}{8}=\frac{2+6y-1-6y}{8}=\frac{1}{8}\)

\(=>\frac{1+6y}{16}=\frac{1}{8}\)

\(=>8\left(1+6y\right)=16\)

\(=>8+48y=16\)

\(=>48y=8\)

\(=>y=\frac{1}{8}\)

Ta có

\(\frac{2+6y}{24}=\frac{1+6y}{16}=\frac{1}{8}\)

\(=>\frac{1+9y}{4x}=\frac{1}{8}\)

Thế \(y=\frac{1}{6}\) vào biểu thức ta có

\(\frac{1+9y}{4x}=\frac{1}{8}\)

\(=>\frac{1+9.\frac{1}{6}}{4x}=\frac{1}{8}\)

\(=>\frac{\frac{5}{2}}{4x}=\frac{1}{8}\)

\(=>20=4x\)

\(=>x=5\)

Trong tam giác ABI ta có

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{I}=180^0\)

\(=>90^0+60^0+\widehat{I}=180^0\)

\(=>150^0+\widehat{I}=180^0\)

\(=>\widehat{I}=180^0-150^0\)

\(=>\widehat{I}=30^0\)

Vậy góc của tia sáng tới gương thứ nhất phải bằng 30 độ

Bài 2

Ta có \(\frac{x-y}{3}=\frac{x+y}{13}=\frac{xy}{200}\)

Áp dụng 2 lần tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho 2 tỉ số đầu ta có

\(=>\frac{x-y}{3}=\frac{x+y}{13}=\frac{x-y+x+y}{3+13}=\frac{2x}{16}=\frac{x}{8}\left(1\right)\)

\(=>\frac{x-y}{3}=\frac{x+y}{13}=\frac{x-y-\left(x+y\right)}{3-13}=\frac{x-y-x-y}{-10}=\frac{-2y}{-10}=\frac{y}{5}\left(2\right)\)

Từ điều (1) và (2)

\(=>\frac{x}{8}=\frac{y}{5}\)

Đặt \(\frac{x}{8}=\frac{y}{5}=k\)

\(=>\left\{\begin{matrix}x=8k\\y=5k\end{matrix}\right.\)

Thế vào biểu thức \(\frac{x+y}{13}=\frac{xy}{200}\)

Ta có \(\frac{8k+5k}{13}=\frac{8k.5k}{200}\)

\(=>\frac{13k}{13}=\frac{40k^2}{200}\)

\(=>k=\frac{k^2}{5}\)

\(=>5k=k^2\)

\(=>5=k^2:k\)

\(=>5=k\)

Ta có \(\left\{\begin{matrix}x=8k\\y=5k\end{matrix}\right.\)

\(=>\left\{\begin{matrix}x=8.5=40\\y=5.5=25\end{matrix}\right.\)

Vậy x=40 và y=25

Ta có \(f\left(x\right)=ax^2+bx^4+x+3+11\)

\(=>f\left(-2\right)=a\left(-2\right)^2+b\left(-2\right)^4+\left(-2\right)+3+11=3\)

\(=>f\left(-2\right)=4a+16b+12=3\)

Ta có \(f\left(2\right)=a\left(2^2\right)+b\left(2^4\right)+2+3+11\)

\(=>f\left(2\right)=4a+16b+16\)

\(=>f\left(2\right)=4a+16b+12+4\)

Mà \(f\left(-2\right)=4a+16b+12=3\)

\(=>f\left(2\right)=4a+16b+12+4\)

\(=>f\left(2\right)=3+4\)

\(=>f\left(2\right)=7\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(=>\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\)

Giả sử điều mình cần chứng minh là đúng

Ta có \(\frac{-8}{x}=\frac{1}{y}=\frac{10}{z}< =>\frac{x}{-8}=\frac{y}{1}=\frac{z}{10}\)

Đặt \(\frac{x}{-8}=\frac{y}{1}=\frac{z}{10}=m\)

\(=>\left\{\begin{matrix}x=-8m\\y=m\\z=10m\end{matrix}\right.\)

Thế vào điều đề bài cho ta có :

\(\frac{x^2-yz}{2}=\frac{y^2-xz}{3}=\frac{z^2-yx}{4}\)

\(=>\frac{\left(-8m\right)^2-10m^2}{2}=\frac{m^2-\left(-80m^2\right)}{3}=\frac{\left(10m\right)^2-\left(-8m^2\right)}{4}\)

\(=>\frac{64m^2-10m^2}{2}=\frac{m^2+80m^2}{3}=\frac{100m^2+8m^2}{4}\)

\(=>\frac{54m^2}{2}=\frac{81m^2}{3}=\frac{108m^2}{4}\)

\(=>27m^2=27m^2=27m^2\) (Điều phải chứng minh)

Xét tam giác ABC

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(=>\widehat{A}+90^0+45^0=180^0\)

\(=>\widehat{A}+135^0=180^0\)

\(=>\widehat{A}=180^0-135^0\)

\(=>\widehat{A}=45^0\)

Mà \(\widehat{A}=\widehat{C}=45^0\)

=> Tam giác ABC là tam giác cân

=> AB=BC=3m

=>BC=3m

Vậy độ dài cột bóng điện đó trên mặt đất là 3m

Ta có

\(\frac{x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}+t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{x^{2010}}{a^2}+\frac{y^{2010}}{b^2}+\frac{z^{2010}}{c^2}+\frac{t^{2010}}{d^2}\)

\(=>\frac{x^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{y^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{z^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}+\frac{t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}=\frac{x^{2010}}{a^2}+\frac{y^{2010}}{b^2}+\frac{z^{2010}}{c^2}+\frac{t^{2010}}{d^2}\)

\(=>\left(\frac{x^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{x^{2010}}{a^2}\right)+\left(\frac{y^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{y^{2010}}{b^2}\right)+\left(\frac{z^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{z^{2010}}{c^2}\right)+\left(\frac{t^{2010}}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{t^{2010}}{d^2}\right)=0\)

\(=>x^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{c^2}\right)+t^{2010}\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{d^2}\right)=0\)

\(Do\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{a^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{b^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{c^2}\ne0\\\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}-\frac{1}{d^2}\ne0\end{matrix}\right.\)

\(=>\left\{\begin{matrix}x^{2010}=0\\y^{2010}=0\\z^{2010}=0\\t^{2010}=0\end{matrix}\right.\)

\(=>\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\\t=0\end{matrix}\right.\)

Ta có

\(T=x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}+t^{2011}\)

\(=>T=0^{2011}+0^{2011}+0^{2011}+0^{2011}\\ T=0+0+0+0\\ T=0\)