Gọi 2 phân số lần lượt là \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\)

Theo đề bài ta có :

\(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{1}{3}\) và \(\left(\frac{a}{b}+3\right).\frac{c}{d}=\frac{19}{12}\)

Ta có \(\left(\frac{a}{b}+3\right).\frac{c}{d}=\frac{19}{12}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{c}{d}+\frac{3c}{d}=\frac{19}{12}\)

Mà \(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3}+\frac{3c}{d}=\frac{19}{12}\)

\(\Rightarrow\frac{3c}{d}=\frac{19}{12}-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{3c}{d}=\frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{5}{4}:3\)

\(\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{5}{12}\)

Ta có \(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{5}{12}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{1}{3}:\frac{5}{12}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{4}{5}\)

Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{4}{5},\frac{c}{d}=\frac{5}{12}\)

\(\Rightarrow\) 2 phân số đã cho là \(\frac{4}{5}và\frac{5}{12}\)

Khoảng cách giữa điểm sáng S đặt cách gương G2 \(\Leftrightarrow SN\)

Xét tứ giác MSON ta có

\(\widehat{M}+\widehat{O}+\widehat{N}+\widehat{S}=360^0\)

\(\Rightarrow90^0+90^0+90^0+\widehat{S}=360^0\)

\(\Rightarrow270^0+\widehat{S}=360^0\)

\(\Rightarrow\widehat{S}=360^0-270^0\)

\(\Rightarrow\widehat{S}=90^0\)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(S_1S_2S\) là tam giác vuông

Theo định lý Pi-ta-go ta có

\(\left(S_1S\right)^2+\left(S_2S\right)^2=\left(S_1S_2\right)^2\)

\(\Rightarrow3^2+\left(S_2S\right)^2=5^2\)

\(\Rightarrow\left(S_2S\right)^2=5^2-3^2\)

\(\Rightarrow\left(S_2S\right)^2=16\)

\(\Rightarrow S_2S=4cm\)

Ta có \(SN+S_2N=S_2S\)

\(\Rightarrow SN+S_2N=4cm\)

Do điểm sáng S là điểm đối xứng của ảnh ảo \(S_2\)

\(\Rightarrow SN=S_2N\)

Ta có \(SN+S_2N=4cm\)

\(\Rightarrow2.SN=4cm\)

\(\Rightarrow SN=2cm\)

Vậy điểm sáng S đặt cách gương \(G_2\) 1 khoảng là 2cm

Bài 2)

Ta có \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow ad< bc\)

Xét \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow ab+ad< ab+bc\)

\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )

Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)

Xét \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)

\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )

Vậy \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (đpcm)

Câu 3)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Mà \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)

\(\Rightarrow a+b+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (điều này luôn luôn đúng)

\(\Rightarrow\) ĐPCM

Câu 2)

Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)

Ta có \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{ab+b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)

Ta có \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{ab+2}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow9\ge4\left(ab+2\right)\)

\(\Rightarrow9\ge4ab+8\)

\(\Rightarrow1\ge4ab\)

Do \(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đpcm )

a)

Mép dưới của gương \(\Leftrightarrow IK\)

\(15cm=0,15m\)

Ta có \(OA+OB=AB\)

\(\Rightarrow0,15m+OB=1,65m\)

\(\Rightarrow OB=1,65m-0,15m\)

\(\Rightarrow OB=1,5m\)

Xét tam giác OB'B ta có :

Do AB//EK (người đứng đối diện với gương)

\(\Rightarrow\) OB//IK

\(\Rightarrow\) IK là đường trung bình của tam giác OB'B

\(\Rightarrow IK=\frac{1}{2}OB\)

Ta có \(OB=1,5m\)

\(\Rightarrow IK=\frac{1}{2}.1,5m\)

\(\Rightarrow IK=0,75m\)

Vậy mép dưới của gương phải cách mặt đất 0,75m để người đó nhìn thấy ảnh của chân mình trong gương

b)

Mép trên của gương \(\Leftrightarrow HK\)

Xét hình thang OA'B'B

Do EK//AB

EK//A'B'

\(\Rightarrow\) OB//EK

A'B'//EK

\(\Rightarrow\) HK//OB

HK//A'B'

\(\Rightarrow\) HK là đường trung bình của hình thang OA'B'B

\(\Rightarrow HK=\frac{1}{2}\left(OB+A'B'\right)\)

Ta có \(\left\{\begin{matrix}OB=1,5m\\A'B'=AB=1,65m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow HK=\frac{1}{2}\left(1,5m+1,65m\right)\)

\(\Rightarrow HK=1,575m\)

Vậy mép trên của gương phải cách mặt đất 1,575m để người đó nhìn thấy ảnh của đỉnh đầu mình trong gương

c)

Chiều cao tối thiểu của gương \(\Leftrightarrow HI\)

Xét tam giác OA'B'

Do AB//EK (người đứng đối diện với gương)

\(\Rightarrow\) A'B'//EK

\(\Rightarrow\) HI//EK

\(\Rightarrow\) HI là đường trung bình của tam giác OA'B'

\(\Rightarrow HI=\frac{1}{2}A'B'\)

Mà \(AB=A'B'=1.65m\)

\(\Rightarrow HI=\frac{1}{2}.1,65m\)

\(\Rightarrow HI=0,825m\)

Vậy chiều cao tối thiểu của gương là 0,825m để người đó nhìn thấy toàn thể ảnh của mình trong gương

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{2016c-a-b}{c}=\frac{2016b-a-c}{b}=\frac{2016a-b-c}{a}=\frac{2016c-a-b+2016b-a-c+2016a-b-c}{a+b+c}=\frac{2016\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{2014\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2014\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{2016c-a-b}{c}=2014\\\frac{2016b-a-c}{b}=2014\\\frac{2016a-b-c}{a}=2014\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2016c-a-b=2014c\\2016b-a-c=2014b\\2016a-b-c=2014a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=2014c-2016c\\-a-c=2014b-2016b\\-b-c=2014a-2016a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=-2c\\-a-c=-2b\\-b-c=-2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{matrix}\right.\) (1)

Ta có \(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)

Thế (1) vào biểu thức ta có :

\(A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)

\(\Rightarrow A=\frac{2c}{b}.\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}\)

\(\Rightarrow A=2.2.2=8\)

Vậy biểu thức A=8

Mình giải câu 10 đó nha bạn :)

Khoảng cách của điểm sáng S cách gương \(G_1\)\(\Leftrightarrow\) \(SG_1\)

Do tam giác SS'S'' là tam giác vuông tại S

Theo định lý Pi-ta-go ta có :

\(\Rightarrow\left(SS'\right)^2+\left(SS''\right)^2=\left(S'S''\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(SS'\right)^2+4^2=5^2\)

\(\Rightarrow\left(SS'\right)^2+16=25\)

\(\Rightarrow\left(SS'\right)^2=25-16\)

\(\Rightarrow\left(SS'\right)^2=9cm\)

\(\Rightarrow\left(SS'\right)=3cm\)

Theo hình vẽ ta có :

\(S'G_1=SG_1=\frac{SS'}{2}\)

\(\Rightarrow SG_1=\frac{3cm}{2}=1,5cm\)

Vậy điểm sáng S đặt cách gương \(G_1\) một khoảng là 1,5cm