Bài 1:

a)\(Q=2x-\sqrt{x^2+2x+1}=2x-\sqrt{\left(x+1\right)^2}=2x-\left|x+1\right|\)

b)Tại x=7 thay vào Q ta được:

\(Q=2.7-\left|7+1\right|=14-8=6\)

Bài 2:

\(\sqrt{x^2-6x}+7x=13\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-6x}=13-7x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}13-7x\ge0\\x^2-6x=\left(13-7x\right)^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{13}{7}\\0=48x^2-85x+169\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{13}{7}\\\Delta=\left(-85\right)^2-4.48.169=-25223< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\in\varnothing\)

Vậy pt vô nghiệm.

Vì hai đường thẳng vuông góc ấy em:

\(y=ax+b\)

\(y=a'x+b'\)

Hai đường thẳng vuông góc khi \(a.a'=-1\)

1.Ý A

\(P=cos^4x-sin^4x=\left(cos^2x-sin^2x\right)\left(cos^2x+sin^2x\right)=cos2x\)

2. Ý B

\(D=sin\left(\dfrac{5\pi}{2}-\alpha\right)+cos\left(13\pi+\alpha\right)-3sin\left(\alpha-5\pi\right)\)

\(=sin\left(2\pi+\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+cos\left(\pi+\alpha+12\pi\right)-3sin\left(\alpha+\pi-6\pi\right)\)

\(=sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+cos\left(\pi+\alpha\right)-3sin\left(\alpha+\pi\right)\)

\(=cos\alpha-cos\alpha+3sin\alpha=3sin\alpha\)

Pt\(\Leftrightarrow2y.cosx-y.sinx+4y=cosx+2sinx+3\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(-y-2\right)+cosx\left(2y-1\right)=3-4y\) (1)

Phương trình (1) có nghiệm 

\(\Leftrightarrow\left(-y-2\right)^2+\left(2y-1\right)^2\ge\left(3-4y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5y^2+5\ge9-24y+16y^2\)

\(\Leftrightarrow11y^2-24y+4\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{11}\le y\le2\)

\(\Rightarrow y_{min}=\dfrac{2}{11}\)

Vậy...

\(sin^2x\) và \(2\left(sinx-cosx\right)\) không bằng nhau

b) Chắc là tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng khi chúng song song

Tại \(m=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=x+\dfrac{15}{4}\)

Chọn \(A\left(0;2\right)\in\left(d_1\right)\)

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\left(d_2\right)\)

Gọi đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với \(\left(d_2\right)\) và đi qua A có dạng: \(\Delta:y=-x+c\)

\(A\in\Delta\Rightarrow2=c\)

\(\Rightarrow\Delta:y=-x+2\)

Gọi giao điểm của \(\Delta\) và \(d_2\) là H

Tọa độ giao điểm của H là nghiệm của hệ:\(\left\{{}\begin{matrix}y=x+\dfrac{15}{4}\\y=-x+2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{7}{8}\\y=\dfrac{23}{8}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow H\left(-\dfrac{7}{8};\dfrac{23}{8}\right)\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng độ dài đoạn AH

\(AH=\sqrt{\left(-\dfrac{7}{8}-0\right)^2+\left(\dfrac{23}{8}-2\right)^2}=\dfrac{7\sqrt{2}}{8}\)

Vậy...

\(A=x^2-4x+15=\left(x-2\right)^2+11\ge11;\forall x\)

\(\Rightarrow A_{min}=11\Leftrightarrow x=2\)

\(B=x\left(x-1\right)=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4};\forall x\)

\(\Rightarrow B_{min}=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

\(C=x^2+5x+4=\left(x^2+2.\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{4}\right)-\dfrac{9}{4}=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\ge-\dfrac{9}{4};\forall x\)

\(\Rightarrow C_{min}=-\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}\)

\(D=4x^2+y^2-8x+6y+9=\left(4x^2-8x+4\right)+\left(y^2+6y+9\right)-4=4\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2-4\ge-4;\forall x,y\)

\(\Rightarrow D_{min}=-4\Leftrightarrow x=1;y=-3\)

Đoạn dấu bằng thứ 4 em làm nhầm rồi nha:

\(=\dfrac{x\sqrt{x}-3-2x+12\sqrt{x}-18-x-4\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x\sqrt{x}-3x+8\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(x+8\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)

b)\(P=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(x-1\right)+9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\left(\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\right)-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}-2\)

\(\Leftrightarrow P\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=3\Leftrightarrow x=4\) (tm)

Vậy \(P_{min}=4\)

Có nghĩa là nhóm thành tích ấy em;giống kiểu phân tích \(m^2-2m-2\) thành nhân tử

Cách làm:Xét pt \(m^2-2m-2=0\) (1) có \(\Delta=12\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2-\sqrt{12}}{2}=1-\sqrt{3}\\x=\dfrac{2+\sqrt{12}}{2}=1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

=>Pt (1) có hai nghiệm \(1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}\) nên phân tích được \(m^2-2m-2\) thành \(\left(x-1+\sqrt{3}\right)\left(x-1-\sqrt{3}\right)\)