Xét \(5-x=0\Leftrightarrow x=5\)

\(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

\(2+3x=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}\)

Bảng xét dấu:

Để VT\(\le\)0 <=>\(\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{2}{3}\le x\le1\\x\ge5\end{matrix}\right.\)

Vậy...

a) Bạn tự vẽ

b)Gọi pt đt (d) có hệ số góc bằng -1 có dạng: \(\left(d\right):y=-x+b\)

Do (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1^2\\y=-1+b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\y=-1+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b=2\)

Vậy (d): y=-x+2

c)Xét pt hoành độ gđ của (d) và (P) có:

\(x^2=-x+2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Thay x=-2 vào (P) ta được: y=4

Vậy tọa độ gđ còn lại là (-2;4)

\(y=\dfrac{1}{3}\left(m-1\right)x^3-\left(m-1\right)x^2+\left(m+3\right)x-2\)

\(y'=\)\(x^2\left(m-1\right)-2x\left(m-1\right)+m+3\)

a)\(y'=0\)\(\Leftrightarrow x^2\left(m-1\right)-2x\left(m-1\right)+m+3=0\)

Xét m=1 => pt tt: 3=0 (vô lí)

=> \(m\ne1\)

Để y'=0 có hai nghiệm pb cùng dấu

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-16m+16>0\\\dfrac{m+3}{m-1}>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m< -3\)

b)y'=0 có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\) \(\Leftrightarrow m\le-3\)

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m-1}=2\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Có x₁²+x₂²=4

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(4-\dfrac{2\left(m+3\right)}{m-1}=4\)

\(\Leftrightarrow m=-3\) (tm)

Vậy m=-3

(đúng không ạ?)

Xét \(\Delta DEA\) và \(\Delta AFB\) có:

\(\widehat{ADE}=\widehat{FAB}\left(=90^0\right)\)

\(DE=AF\)

\(AD=AB\)

nên \(\Delta DEA=\Delta AFB\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{ABF}\) 

Gọi \(H=AE\cap BF\)

Có \(\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=\widehat{DAE}+\widehat{HAB}=\widehat{DAB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta AHB\) vuông tại H => AE vuông góc với BF

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m-1\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-2y=4m-2\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\y=\dfrac{3m+2-x}{2}=\dfrac{3m+2-m}{2}=m+1\end{matrix}\right.\)

\(x^2+y^2=10\)

\(\Leftrightarrow m^2+\left(m+1\right)^2=10\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2m-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-1+\sqrt{19}}{2}\\m=\dfrac{-1-\sqrt{19}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=70\\xy-2x+5y-10=75\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=70\\70-2x+5y-10=75\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=70\\x=\dfrac{5y-15}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{5y-15}{2}\right)y=70\) \(\Leftrightarrow5y^2-15y-140=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=7\Rightarrow x=10\\y=-4\Rightarrow x=-\dfrac{35}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

\(3x^2-2\left(m+1\right)x+3m-5=0\)

Xét \(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4.3.\left(3m-5\right)\)\(=4m^2-28m+64=4\left(m-\dfrac{7}{2}\right)^2+15>0\forall m\)

=> pt luôn có hai nghiệm pb

Kết hợp viet và giả thiết có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{3}\\x_1=3x_2\\x_1x_2=\dfrac{3m-5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2+x_2=\dfrac{2m+2}{3}\\x_1=3x_2\\x_1x_2=\dfrac{3m-5}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{m+1}{6}\\x_1=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{3m-5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(m+1\right)}{6}.\dfrac{\left(m+1\right)}{2}=\dfrac{3m-5}{3}\)\(\Leftrightarrow m^2-10m+21=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=7\\m=3\end{matrix}\right.\)

Tại m=7 thay vào pt ta tìm được \(\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Tại m=3 thay vào pt ta tìm được \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Để pt có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-4\left(9m-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-28m+24\ge0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le1\\m\ge6\end{matrix}\right.\)

Theo viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\\x_1x_2=9m-5\end{matrix}\right.\)

\(P=-2x_1x_2+9\left(x_1^2+x_2^2\right)+1945\)

\(=-2x_1x_2+9\left(x_1+x_2\right)^2-18x_1x_2+1945\)

\(=-20\left(9m-5\right)+9.4\left(m+1\right)^2+1945\)

\(=36m^2-108m+2081\)

BBT f(m)=36m²-108m+2081 , \(m\in\left(-\infty;1\right)\cup\left(6;+\infty\right)\)

=> minP=minf(m) với m\(\in R\backslash\left(1;6\right)\) 

=>minP=2009 <=> m=1

Đk: \(x\ge0\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{x+3\sqrt{x}+4}\)

\(\Leftrightarrow x.P+\sqrt{x}\left(3P-1\right)+4P=0\) (1)

Xét P=0 <=> x=0(tm)

Xét \(P\ne0\) .Coi pt (1) là phương trình ẩn \(\sqrt{x}\)

Phương trình (1) có nghiệm không âm khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S\ge0\\P\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7P^2-6P+1\ge0\\\dfrac{1-3P}{P}\ge0\\4\ge0\left(lđ\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le P\le\dfrac{1}{7}\\0< P\le\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< P\le\dfrac{1}{7}\)

Kết hợp với P=0 \(\Rightarrow0\le P\le\dfrac{1}{7}\)

Có \(\dfrac{1}{7}>0\) => maxP=\(\dfrac{1}{7}\). Thay \(P=\dfrac{1}{7}\) vào (1) tìm được x=4 (tm)

minP=0 <=> x=0

Đk: \(x\ne0,y\ne-1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=xy+5\left(1\right)\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=xy+5\\y+1+x=x\left(y+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=xy+5\\y+1=xy\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x+3y=y+1+5\)

\(\Leftrightarrow x=3-y\) thay vào (1) có:

\(2\left(3-y\right)+3y=\left(3-y\right)y+5\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow y=1\) \(\Rightarrow x=2\)(tm)

Vậy (x;y)=(2;1)