a) \(S=5+5^2+5^3+...+5^{2006}\)

\(5S=5^2+5^3+5^4+...+5^{2007}\)

\(5S-S=\left(5^2+5^3+5^4+...+5^{2007}\right)-\left(5+5^2+5^3+...+5^{2006}\right)\)

\(4S=5^{2007}-5\)

→ \(S=\frac{5^{2007}-5}{4}\)

b) \(S=5+5^2+5^3+...+5^{2006}\)

\(=\left(5+5^4\right)+\left(5^2+5^5\right)+...+\left(5^{2003}+5^{2006}\right)\)

\(=5\left(1+5^3\right)+5^2\left(1+5^3\right)+...+5^{2003}\left(1+5^3\right)\)

\(=5\cdot126+5^2\cdot126+...+5^{2003}\cdot126\)

\(=\left(5+5^2+...+5^{2003}\right)\cdot126\) chia hết cho \(126\)

Vậy \(S\) chia hết cho \(126\)

Hô hấp là quá trình cây lấy ô-xi để phân giải các chất hữu cơ, sản ra năng lượng cần cho các hoạt động sống, đồng thời thải ra khí cacbonic và hơi nước.

Sơ đồ quá trình hô hấp :

Chất hữu cơ + Khí ô-xi ----> Năng lượng + Khí cacbonic + Hơi nước

Gọi số chia là b ; thương là q (b;q ϵ N*)

Ta có : \(77=bq+7\) \(\left(b>7\right)\)

→ \(70=bq\)

→ \(70\) chia hết cho \(b\)

→ \(b\) ϵ \(Ư\left(70\right)=\left\{1;2;5;7;10;14;35\right\}\)

Mà \(b>7\) → \(b=10;14;35\)

+ Nếu \(b=10\) → \(q=7\)

+ Nếu \(b=14\) → \(q=5\)

+ Nếu \(b=35\) → \(q=2\)

Vậy ...

Ta có : \(ab=\left(a;b\right)\left[a;b\right]\)

→ \(2400=\left(a;b\right)\cdot120\)

→ \(\left(a;b\right)=2400\) : \(120=20\)

Ta lại có : \(\left(a;b\right)=20\)

→ \(\begin{cases}a⋮20\\b⋮20\end{cases}\)

→ \(\begin{cases}a=20m\\b=20n\end{cases}\) \(\left(m;n\right)=1\) ; \(m;n\) ϵ \(N\) *

Vì a và b có vai trò như nhau nên ta giả sử \(a\ge b\) → \(m\ge n\)

→ \(ab=20m\cdot20n\)

→ \(2400=400mn\)

→ \(mn=6=1\cdot6=2\cdot3\)

Ta có bảng sau :

Vậy \(\left(a;b\right)=\left\{\left(120;20\right);\left(60;40\right)\right\}\)

\(3\cdot3\cdot3\cdot...\cdot3\) (2016 chữ số 3) \(=3^{2016}\) \(=3^{4\cdot504}\) \(=\left(...1\right)\)

Vậy \(3\cdot3\cdot3\cdot...\cdot3\) (2016 chữ số 3) có chữ số tận cùng là 1

\(\)

 Một vòng tròn đồng hồ xem như đường dài 1 vòng. Lúc 2 giờ hai kim cách nhau 1/6 vòng. Khi hai kim thẳng hàng là cách nhau 1/2 vòng. Vận tốc kim phút là 1 vòng / giờ. Vận tốc kim giờ là 1/12 vòng mỗi giờ. Cách nhau 1/6 vòng thì kim phút đuổi kịp ( hai kim trùng nhau) sau: 
1/6:(1-1/12)=1/6:11/12=2/11 giờ. Hai kim trùng nhau kim phút chạy trước để cách nhau 1/2 vòng sau: 1/2:(1-1/12)= 1/2:11/12= 6/11 giờ 
Vậy thời gian để từ 2 giờ hai kim tạo thành đường thẳng là: 6/11+2/11=8/11 giờ. 

Sự thất bại của An Dương Vương để lại cho đời sau bài học :Do chủ quan, quá tự tin vào lực lượng của mình nên An Dương Vương đã mắc mưu kẻ thù, nội bộ không còn thống nhất để cùng nhau chống giặc... Đây là bài học lớn về tinh thần đoàn kết, nâng cao cảnh giác trước mọi kẻ thù.

Việc xây dựng công trình thành Cổ Loa vào thế kỉ III TCN đã thể hiện trình độ phát triển của nước Âu Lạc. Cách bố trí thành Cổ Loa đã thể hiện trí tài giỏi của con người thời đó. Đây là một biểu tượng của nền văn minh Việt Cổ rất đáng tự hào của dân tộc ta.

Gọi số cần tìm là ab ( a;b ϵ N )

Ta có : \(ab=a+1815\)

→ \(10a+b=a+1815\)

→ \(9a+b=1815\)

Mà \(1815:9=201\) dư \(6\)

→ \(a=201;b=6\)

Vậy số cần tìm là 2016