chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta luôn có

\(\dfrac{1}{a\left(1+b\right)}\)+\(\dfrac{1}{b\left(1+c\right)}\)+\(\dfrac{1}{c\left(1+a\right)}\)≥\(\dfrac{3}{1+abc}\)

cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác . các tia AO,BO,CO lần lượt cắt BC.AC,AB tại M,N,P . chứng minh:\(\dfrac{AM}{OM}\)+\(\dfrac{BN}{ON}\)+\(\dfrac{CP}{OP}\)≥9

giải phương trình

x-1+\(4\sqrt{7-x}\)=4\(\sqrt{x-1}\)+\(\sqrt{\left(7-x\right)\left(x-1\right)}\)

biết R₁=4 Ω , R₂ = 2 Ω , R₃=5 Ω , R₄=6 Ω điện trở của ampe kế , khóa K và dây dẫn không đáng kể , điện trở của von kế cô cùng lớn

a) khi K đóng tính số chỉ của ampeke , vôn kế và công suất tiêu hao của R2

cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O;R) . các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H dài AO cắt đường tròn tại K

a) chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành

b) kẻ OH vuông với BC tại M . họi G là trong tâm của Δ ABC

chứng minh \(s_{AHG}\)=\(S_{AGO}\)

Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là 1 điểm thay đổi trên đường tròn ( C khác A, B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K
a/ Chứng minh 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc 1 đường tròn
b/ Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R)
c/ CHứng minh K là trung điểm của CH
d/ Xá định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất. Tìm max đó theo R

cho đường tròn ( O;R) cố định , đường kính AB . lấy điểm I nằm trên tía đối của BA , kẻ tiếp tuyến IC (C là tiếp điểm). gọi M là 1 diểm cố định thuộc nửa đường trò đường kính AB không chúa điểm C (M khác A;B ) gọi N là giao điểm thứ 2 của IM với (O) ; H là hình chiếu của C trên AB ; K là hình chiếu của O trên IM , E là giao điểm của CH và OK

a) chứng minh : IC²=IA.IB

b) CM: IH.IO=IA.IB

c) Khi I di động trên tia đối BA , hãy tìm quỹ tích điểm E

cho ▲ABC vuông tại A , có AM là trung tuyến , đường cao AH . trên cùng nữa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẻ 2 tia x ,Cy cùng vuông góc với BC . qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM , cắt Bx và Cy lần lượt tại P và Q . chứng minh :

a) AP=BP và AQ=CQ

b) PC là trung điểm của AH

c) khi BC cố định BC=2a , điểm A chuyển động sao cho góc BAC bằng 90 độ .tìm vị trí của điểm H trên đoạn thẳng BC để diện tích ▲ABH đạt giá trị lớn nhất . tìm giá trị lớn nhất đó

giải phương trình x² -2x-x\(\sqrt{x}\) - \(2\sqrt{x}\) +4 =0