Kẻ\(AK\perp AM\left(K\in OC\right)\)
\(AH\perp DC\left(H\in DC\right)\)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao và tam giác vuông AKN , đường cao AH , ta có
\(\dfrac{1}{AK^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AH^2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta AMB\)và\(\Delta ADK\)có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AD=AB\\\widehat{B}=\widehat{D}\\\widehat{DAK}=\widehat{MAB}\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AMB=\Delta AKD\)
=> AM=AK ( 2 cạnh tương ứng)(2)
Áp dụng định lý py-ta-go , ta có :
\(HD^2+AH^2=AD^2\)
=>\(AH^2=AD^2-HD^2\)(3)
\(\Delta ADH\perp H\)có :\(\widehat{ADH}+\widehat{DAH}=90^o\)
=> \(\widehat{ADH}=90^o-60^o\)(Vì ABCD là h.thoi có góc DAB=120 độ => góc DAH=60 độ)
=>\(\widehat{ADH}=30^o\)
=>\(DH=\dfrac{1}{2}AD\)(4)
Thay (4) vào (3) , ta có : \(AH^2=AD^2-\left(\dfrac{1}{2}.AD\right)^2\)
=\(\dfrac{3}{4}.AD^2\)
=\(\dfrac{3}{4}.AB^2\)(vì AB=AD)
Thay (2) vào (5) , ta có :
\(\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}\)
<=> \(\dfrac{3}{AM^2}+\dfrac{3}{AN^2}=\dfrac{4}{AB^2}\)