\(\dfrac{2a+13b}{3a-7b}=\dfrac{2c+13d}{3c-7d}\Rightarrow\dfrac{2a+13b}{2c+13d}=\dfrac{3a-7b}{3c-7d}\) (1)

Nhân tư và mẫu vế trái (1) với 3 và vế phải với 13 ta được:

\(\dfrac{2a+13b}{2c+13d}=\dfrac{14a+91b}{14c+91d}=\dfrac{39a-91b}{39c-91d}\)

=\(\dfrac{\left(14a+91b\right)+\left(39a-91b\right)}{\left(14c+91d\right)+\left(39c-91d\right)}=\dfrac{53a}{53c}=\dfrac{a}{c}\) (2)

Nhân tử và mẫu vế trái (1) với 3 và vế phải với 2 ta được:

\(\dfrac{2a+13b}{2c+13d}=\dfrac{6a+39b}{6c+39d}=\dfrac{6a-14b}{6c-14d}=\dfrac{53b}{53d}=\dfrac{b}{d}\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra :

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

Số đó chia hết cho 18 \(\Rightarrow\) chia hết cho 2 và 9 \(\Rightarrow\) Số đó có chữ số tận cùng là chữ số chẵn và có tổng các chữ số chia hết cho 9

Chữ số tận cùng lớn nhất chỉ có thể bằng 8 mỗi chữ số còn lại lớn nhất bằng 9

\(\Rightarrow\) Tổng 3 chữ số lớn nhất là : 9+9+8 = 26

Tổng các chữ số chia hết cho 9 \(\Rightarrow\) chỉ có thể bằng 9 hoặc 18

Gọi 3 chữ số là a,b,c và \(\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}\)

+) Nếu a+b+c=9

Ta có: \(\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a+b+c}{1+2+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow a=\dfrac{3}{2}\) (loại)

+) Nếu a+b+c=18

Ta có:\(\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b+c}{1+2+3}=\dfrac{19}{6}=3\Rightarrow a=3\)(được)

\(\Rightarrow a=3.1=3\)

\(b=2.3=6\)

\(c=3.3=9\)

Vì chữ số tận cùng là chẵn nên số cần tìm là 396 hoặc 936

Ta có:\(\dfrac{1}{2^3}< \dfrac{1}{1.2.3};\dfrac{1}{3^3}< \dfrac{1}{2.3.4};\dfrac{1}{4^3}< \dfrac{1}{3.4.5};...;\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)Vậy:\(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+...+\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{3.4.5}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)Ta có:\(\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}\)

=\(\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right).n}-\dfrac{1}{n.\left(n+1\right)}\right)\)=\(\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n.\left(n+1\right)}\right)\)

=\(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2n.\left(n+1\right)}< \dfrac{1}{4}\)

Vì:\(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2n.\left(n+1\right)}< \dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{4}\) hay \(A< \dfrac{1}{4}\)

Gọi số tự nhiên cần tìm là x.

Đặt A=x-5  x chia 29 dư 5

=> A chia hết cho 29  x chia 31 dư 28

=> A chia 31 dư 23

=>A=31k+23  

Cho k=0,1,2,3,... ta thấy khi k=3 thì A=116 chia hết cho 29  

Vậy x=A+5=116+5=121.

Ta có sơ đồ :

Tử số : \(|---|---|\)

Mẫu số :\(|---|---|---|---|---|\)

Tổng : 175

Tổng số phần bằng nhau là :

2+5=7(phần)

Tử số là :

175:7x2=50

Mẫu số là :

175-50=125

Vậy phân số đó là : \(\dfrac{50}{125}\)

Bán kính hình tròn là:

346,185:3,14=110,25

\(\sqrt{110,25}=10,5\) (cm)

10,5 . 10,5 = 110,25 nên bán kính hình tròn băng 10,5

Đáp số : 10,5