Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{y+z+1}{x}=\dfrac{x+z+2}{y}=\dfrac{x+y-3}{z}=\dfrac{\left(y+z+1\right)+\left(x+z+2\right)+\left(x+y-3\right)}{x+y+z}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+y+z}=2\Rightarrow x+y+z=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{y+z+1}{x}=2\) => y+z+1 = 2x => x+y+z+1 = 3x => 1/2 + 1 = 3x => x = 1/2

Tương tự ta được: y = 5/6, z = -5/6

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{d}\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{a^2+b^2}{b^2+d^2}\) (1)

Lại có: \(\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{d}=\dfrac{a}{d}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+d^2}=\dfrac{a}{d}\) (đpcm)

c) \(E=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{11}\)

\(=\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{11}\)

\(=2\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}\right)\)

Ta có: \(\dfrac{1}{6}>\dfrac{1}{7}>\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{9}>\dfrac{1}{10}>\dfrac{1}{11}\)

\(\Rightarrow E>2\left(\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}\right)=2\left(\dfrac{1}{11}.6\right)=2\cdot\dfrac{6}{11}=\dfrac{12}{11}>1\) (1)

\(E< 2\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\right)=2\left(\dfrac{1}{6}.6\right)=2.1=2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 < E < 2 suy ra E không phải là số nguyên

Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi v t b  là tốc độ trung bình của chất điểm trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà v   ≥ 0 , 25 π v t b  là:

A.  T 3

B.  2 T 3

C.  T 6

D.  T 2

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{z-3}{5}=\dfrac{x-1+y-2+z-3}{3+4+5}=\dfrac{\left(x+y+z\right)+\left(-1-2-3\right)}{12}=\dfrac{30-6}{12}=\dfrac{24}{12}=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x-1}{3}=2\Rightarrow x-1=6\Rightarrow x=7\)

\(\dfrac{y-2}{4}=2\Rightarrow y-2=8\Rightarrow y=10\)

\(\dfrac{z-3}{5}=2\Rightarrow z-3=10\Rightarrow z=13\)

Vậy x=7,y=10,z=13

Giả sử \(\sqrt{5}\) là số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{5}=\dfrac{a}{b}\left(a,b\in Z;b\ne0;\left(a,b\right)=1\right)\)

\(\Rightarrow5=\dfrac{a^2}{b^2}\)

\(\Rightarrow a^2=5b^2\)

\(\Rightarrow a⋮5\)

\(\Rightarrow a^2⋮25\)

\(\Rightarrow5b^2⋮25\)

\(\Rightarrow b^2⋮5\)

=> \(\left(a,b\right)\ne1\) trái với giả sử

Vậy \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ

\(A=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(=\left(1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{99}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}\right)-2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{100}\right)-\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{50}\right)\)

\(=\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}\)

\(=\left(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{75}\right)+\left(\dfrac{1}{76}+\dfrac{1}{77}+...+\dfrac{1}{100}\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{75}>\dfrac{1}{75}+\dfrac{1}{75}+...+\dfrac{1}{75}=\dfrac{25}{75}=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{76}+\dfrac{1}{77}+...+\dfrac{1}{100}>\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{100}+...+\dfrac{1}{100}=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}\) (1)

Lại có:

\(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{75}< \dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{50}+...+\dfrac{1}{50}=\dfrac{25}{50}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{76}+\dfrac{1}{77}+...+\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{75}+\dfrac{1}{75}+...+\dfrac{1}{75}=\dfrac{25}{75}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{7}{12}< A< \dfrac{5}{6}\)

\(\dfrac{6}{11}x=\dfrac{7}{2}y=\dfrac{18}{5}z\)

\(\Rightarrow\dfrac{6x}{11.126}=\dfrac{7y}{2.126}=\dfrac{18z}{5.126}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{231}=\dfrac{y}{36}=\dfrac{z}{35}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{231}=\dfrac{y}{36}=\dfrac{z}{35}=\dfrac{-x+y+z}{-231+36+35}=\dfrac{-120}{-160}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{231}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow x=\dfrac{693}{4}\)

\(\dfrac{y}{36}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow y=27\)

\(\dfrac{z}{35}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow z=\dfrac{105}{4}\)

5,

Gọi số người lúc đầu ba đơn vị là x,y,z (người)

Số người lúc đầu ở đơn vị I là \(\dfrac{5}{4}x\)

Số người lúc đầu ở đơn vị II là \(\dfrac{10}{9}y\)

Số người lúc đầu ở đơn vị III là \(\dfrac{10}{11}z\)

Theo bài ra ta có \(\dfrac{5}{4}x=\dfrac{10}{9}y=\dfrac{10}{11}z\)

\(\Rightarrow\dfrac{5x}{4.10}=\dfrac{10y}{9.10}=\dfrac{10z}{11.10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{11}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{11}=\dfrac{x+y+z}{8+9+11}=\dfrac{112}{28}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{8}=4\Rightarrow x=32\)

\(\dfrac{y}{9}=4\Rightarrow y=36\)

\(\dfrac{z}{11}=4\Rightarrow z=44\)

Vậy...

\(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\Rightarrow\)\(\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}=\dfrac{\left(a+b\right)+\left(a-b\right)}{\left(c+a\right)+\left(c-a\right)}=\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{a}{c}\left(1\right)\)

Mặt khác: \(\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}=\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c+a\right)-\left(c-a\right)}=\dfrac{2b}{2a}=\dfrac{b}{a}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow a^2=bc\)