Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là \(-x+m=\frac{x^2-1}{x}\)

                                                                 \(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\) (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))

Vì ac < 0 nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác không 

Do đó đồ thị và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt :

\(A\left(x_1;-x_1+m\right);B\left(x_2;-x_2+m\right)\)

\(AB=4\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(-x_2+m+x_1+m\right)^2}=4\)

             \(\Leftrightarrow2\left(x_2-x_1\right)^2=16\)

             \(\Leftrightarrow\left(x_2+x_1\right)^2-4x_2x_1=8\)

Áp ụng định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_2+x_1=\frac{m}{2}\\x_2x_1=-\frac{1}{2}\end{cases}\)

\(AB=4\Leftrightarrow\frac{m^2}{4}+2=8\Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{6}\)

Vậy \(m=\pm2\sqrt{6}\) là giá trị cần tìm

Ta có \(d:y=mx-m-2\)

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :

\(\frac{x-3}{1-x}=mx-m-2\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne1\\mx^2-\left(2m+1\right)x+m-1=0\end{cases}\)

Điều kiện để cắt nhau tại hai điểm phân biệt là : \(\begin{cases}m\ne0\\m>-\frac{1}{8}\end{cases}\)

Gọi \(M\left(x_1;y_1\right);N\left(x_2;y_2\right)\) khi đó \(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m+1}{m}\\x_1x_2=\frac{m-1}{2}\end{cases}\)

Ta có \(\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AN}\Rightarrow x_1=3-2x_2\)

Từ đó ta có m = 1

a) (-12; 3] ∩ [-1; 4] = [-1; 3]

b) (4, 7) ∩ (-7; -4) = Ø

c) (2; 3) ∩ [3; 5) = Ø

d) (-∞; 2] ∩ [-2; +∞)= [-2; 2].

bạn Võ Lê Hoàng giỏi quá!!!

a) (-2; 3) (1; 5) = (-2; 1];

b) (-2; 3) [1; 5) = (-2; 1);

c) R (2; +∞) = (- ∞; 2]

d) R (-∞; 3] = (3; +∞).

                                      tổng số tuổi của 11 cầu thủ là 

                                                22*11=242 (t)

                                         tổng số tuổi của 10 cầu thủ là 

                                         21*10 = 210 (t) 

                                          tuổi của thủ môn

                                       242-210=32 t

Ta chứng minh hai mệnh đề:

– Khi  =  thì ABCD là hình bình hành.

Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:

            =   ⇔  = 

                                     và   và  cùng hướng.

 và  cùng hướng =>  và  cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau, hay AB // DC                          (1)

Ta lại có   =   => AB = DC   (2)

Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác ABCD có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

– Khi ABCD là hình bình hành thì  = 

  Khi ABCD là hình bình hành thì AB // CD. Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ  và  cùng hướng                                          (3)

Mặt khác AB = CD =>  =           (4)

Từ (3) và (4) suy ra   = .

Với mọi \(x\in R,y'=3x^2+6mx\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2m\)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m\ne0\). Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là \(A\left(0;2\right),B\left(-2m;4m^3+2\right)\)

\(S_{OAB}=1\Leftrightarrow OA.d\left(B;OA\right)=4\Leftrightarrow\left|2\right|=2\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-1\end{cases}\) (thỏa mãn)

Vậy với \(m=\pm1\) thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài

Phương trình đã cho tương đương :

\(2\sin x=2\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x\)

\(\Leftrightarrow\sin x\left(\sqrt{3}\cos x+\sin x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sin x=0\\\sqrt{3}\cos x+\sin x-1=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=k\pi\\\sin x\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{2}\end{cases}\)

Với \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\begin{cases}\frac{\pi}{3}+x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\\frac{\pi}{3}+x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{cases}\)

                                \(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{cases}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 

\(x=k\pi;x=\frac{\pi}{2}+k2\pi;x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi,k\in Z\)

Điều kiện x>0.

Phương trình đã cho tương đương :

\(\log_3\left(x^2+2x\right)-\log_3\left(3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\log_3\left(x^2+2x\right)=\log_3\left(3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x=3x+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-1\\x=2\end{cases}\)

Đối chiếu điều kiện ta có phương trình đã cho có nghiệm là \(x=2\)