Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

Ta có: AB < AC nên AE < AC

Suy ra E nằm giữa A và C.

Xét ΔABD và ΔAED, ta có:

AB = AE (theo cách vẽ)

∠(BAD) = ∠(EAD) (gt)

AD cạnh chung

Suy ra: ΔABD = ΔAED (c.g.c)

Suy ra: BD = DE (2 cạnh tương ứng)

và ∠(ABD) = ∠(AED) (2 góc tương ứng)

Mà: ∠(ABD) + ∠B1= 180o (2 góc kề bù)

∠(AED) + ∠E1= 180o (2 góc kề bù)

Suy ra: ∠B1= ∠E1

Trong ΔABC ta có ∠B1là góc ngoài tại đỉnh B

Ta có: ∠B1 > ∠C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra: ∠E1> ∠C

Suy ra: DC > DE (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Vậy BD < DC.

Xét tg ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC= a; AC= c. Theo bài ra ta có: AM< b+c/2

CMTT: BD< a+c/2 ; CE < a+b/2

Suy ra AM+BD+CE < a+b+c

Ta có BD+CE> 3/2 a

CMTT ta có:AM+CE > 3/2 b

                    AM+BD> 3/2 c

Suy ra 2(AM+BD+CE) > 3/2 ( a+c+c)

Do đó : AM+BD+CE > 3/4 ( a+b+c )