Ta có:
\(25(x+y) = 7(x^2+y^2)\)
Vì x, y là các số tự nhiên nên\( x^2 + y^2 > 0 \)
Mặt khác, \(\frac{x+y}{x^2+y^2} = \frac{7}{25} < 1\)
nên \(x+y < x^2+y^2\)
Ta có
\(7(x^2+y^2)\) \(⋮\) 7
\(=> 25(x+y)\) \(⋮\) 7.
Vì (25, 7) = 1 nên (x+y) \(⋮\) 7.
Đặt \(x+y = 7k\) (k là số tự nhiên)
Khi đó, \(25 \cdot 7k = 7(x^2+y^2) \) hay \(25k = x^2+y^2\)
Ta lại có:
\((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = (x^2+y^2) + 2xy\)
\(7k^2 = 25k + 2xy \)
\(49k^2 - 25k = 2xy
\)
\(k(49k-25) = 2xy\)
Vì (x, y) = 1 nên x, y không cùng chẵn. Do đó, tích xy là số tự nhiên nên k(49k-25) là số chẵn, suy ra k chẵn hoặc 49k-25 chẵn. Vì 49k-25 lẻ nếu k chẵn và 49k-25 chẵn nếu k lẻ nên k phải chẵn.
Đặt k = 2n, ta có:
\(x+y = 14n\)
\(x^2+y^2 = 50n\)
\(2xy = 14n(7n-1)\)
Ta có: \((x-y)^2 = x^2-2xy+y^2\)
\(= 50n - 14n(7n-1)
\)
\(= 50n - 98n^2 + 14n\)
\(= -98n^2 + 64n\)
Vì \((x-y)^2 \ge 0\) nên \(-98n^2+64n \ge 0 \)
hay \(98n^2-64n \le 0 \)
Suy ra \(2n(49n-32) \le 0 \)
Vì n > 0
nên \(49n-32 \le 0 \)
hay \(n \le \frac{32}{49}.\)
Mà n là số tự nhiên chẵn nên n = 0.
Với n = 0 thì x = y = 0, không thỏa mãn.
Vậy không có cặp số tự nhiên x, y nào thỏa mãn đề bài.