\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\dfrac{ab}{b\left(b+c\right)}+\dfrac{ac}{b\left(b+c\right)};\dfrac{a+c}{b+c}=\dfrac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\dfrac{ab}{b\left(b+c\right)}+\dfrac{bc}{b\left(b+c\right)}\)

Theo đề bài \(\dfrac{a}{b}< 1\) suy ra \(a< b\) nên \(ac< bc\). Do đó \(\dfrac{ac}{b\left(b+c\right)}< \dfrac{bc}{b\left(b+c\right)}\)

Suy ra \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)

\(2S=\dfrac{2}{1.2.3}+\dfrac{2}{2.3.4}+...+\dfrac{2}{23+24+25}=\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}\right)+\left(\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}\right)+...+\left(\dfrac{1}{23.24}-\dfrac{1}{24.25}\right)\)\(=\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{24.25}=\dfrac{299}{600}\) 

Vậy \(S=\dfrac{299}{600}\div2=\dfrac{299}{1200}\)

Ta có: \(\dfrac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\dfrac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

\(a,A=\dfrac{12n+1}{2n+3}\) là một phân số khi: \(12n+1\in Z,2n+3\in Z\) và \(2n+3\ne0\)

\(\Leftrightarrow n\in Z\) và \(n\ne-1,5\)

\(b,A=\dfrac{12n+1}{2n+3}=-6\dfrac{17}{2n+3}\)

A là số nguyên khi \(2n+3\inƯ\left(17\right)\Leftrightarrow2n+3\in\left\{\pm1;\pm17\right\}\)

                          \(\Leftrightarrow n\in\left\{-10;-2;-1;7\right\}\)

a, Vì B thuộc tia AX, D thuộc tia đối của tia AX

\(\Rightarrow A\) nằm giữa D và B

\(\Rightarrow BD=BA+AD=5+3=8\left(cm\right)\)

b, Vì A nằm giữa D và B \(\Rightarrow\) Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

\(\Rightarrow\widehat{ACD}+\widehat{ACB}=\widehat{BCD}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCD}-\widehat{ACB}=85^o-50^o=35^o\)

c, TH1: K thuộc tia Ax

- Suy ra \(AK+KB=AB\Rightarrow KB=AB-AK=5-1=4\left(cm\right)\)

TH2: K thuộc tia đối của tia Ax

Suy ra \(KB=KA+AB\Rightarrow KB=5+1=\left(cm\right)\)

Vậy......

Tham khảo:

Số loài động vật ở môi trường nhiệt đới cao hơn hẳn so với tất cả những môi trường địa lí khác trên Trái đất vì: - Môi trường nhiệt đới có khí hậu nóng, ẩm tương đối ổn định, thích hợp với sự sống của nhiều loài sinh vật. - Lượng thực vật phong phú, đa dạng cung cấp nguồn thức ăn cho nhiều nhóm động vật.

\(A=\dfrac{5^2}{1.6}+\dfrac{5^2}{6.11}+...+\dfrac{5^2}{26.31}\)

\(=5.\left(\dfrac{5}{1.6}+\dfrac{5}{6.11}+...+\dfrac{5}{26.31}\right)\)

\(=5.\left(1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{26}-\dfrac{1}{31}\right)\)

\(=5.\left(1-\dfrac{1}{31}\right)=5.\dfrac{30}{31}=\dfrac{150}{31}\)