C) Ta có AI là trung tuyến của ∆ABC vuông tại A(1)có AI ứng với BC mà BC là cạnh huyền

Suy ra AI=½BC=IC suy ra AI=IC suy ra ∆AIC cân tại I 

Xét trong ∆AIC cân, có IM là đường cao suy ra IM là đường trung trực ∆AIC suy ra MA=MCsuy ra BM là đường trung tuyến ∆ABC(2)

Từ (1)và(2) ta có :

AI và BM là 2 đường trung tuyến của∆ABC cắt nhau tại G suy ra G là trọng tâm của ∆ABC

Ta có :½ BC+½AC=½.27 =27/2 suy ra BI+AM=27/2

Xét BM và BI ta có : BM>AB( QH giữa đường vuông góc và đường xiên)suy ra 12<BM(1)

BI=BC/2=15/2<12(2)

Từ (1)và (2) ta có: BI<12<BM suy ra BI<BM(3)

Xét ∆AIM vuông tại M có AI là cạnh huyền; AM là cạnh góc vuông 

Suy ra:AM<AI(4)

Từ (3)và (4) ta có 

BM+AI>BI+AM=27/2

Suy ra BM+AI>27/2

Xét ∆ABC  vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

(BC)²=(AB)²+(AC)²

15²=9²+AC² suy ra AC=12

Do 9<12<15suy ra AB<AC<BC

Suy ra BÂC<ABC<BÂC

b)xét ,∆IMC và ∆INB

IC=IB(do AI là đường trung tuyến ∆ABC)

IM=IN(gt);CIM=BIN(đd)suy ra ∆IMC=∆INB(c-g-c)

ICM=IBN(2g tương ứng) mà 2 góc này ở vị trí sole trong suy ra CM//BN kéo dài AC//BN