Chứng minh rằng:

a) Số các nghiệm tự nhiên của phương trình \(x_1+x_2+...+x_m=n\left(n,m\in N\cdot\right)\) là \(C^n_{m+n-1}\).

b) Số các nghiệm nguyên dương của phương trình \(x_1+x_2+...+x_m=n\left(m\le n;m,n\in N\cdot\right)\) là \(C^{m-1}_{n-1}\).

Em có tìm một số lời giải cho bài toán này nhưng vẫn không hiểu lắm, mong ai đó có lời giải chi tiết và dễ hiểu :)

- Gọi độ dài các cạnh của đa giác trên là:\(a_1,a_2,...,a_n\left(cm\right)\left(a_1< a_2< ...< a_n\right)\left(n\in N\cdot,n>2\right)\)

- Vì độ dài các cạnh của đa giác trên lập thành 1 cấp số cộng nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a_n=a_1+\left(n-1\right)d\\a_1+a_2+...+a_n=na_1+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}d\end{matrix}\right.\)

Mặt khác, theo đề bài ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a_n=15\left(cm\right)\\d=3\\a_1+a_2+...+a_n=45\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a_1+3\left(n-1\right)=15\left(1\right)\\na_1+\dfrac{3n\left(n-1\right)}{2}=45\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Rightarrow na_1+3n\left(n-1\right)=15n\left(3\right)\)

Lấy \(\left(3\right)-\left(2\right)\), ta được: \(\dfrac{3n\left(n-1\right)}{2}=15n-45\)

\(\Leftrightarrow3n^2-3n+90-30n=0\)

\(\Leftrightarrow n^2-11n+30=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=6\\n=5\end{matrix}\right.\)

*Với \(n=6\). Từ (1) ta có: \(a_1=15-3\left(n-1\right)=15-3\left(6-1\right)=0\) (loại)

*Với \(n=5\). Từ (1) ta có: \(a_1=15-3\left(n-1\right)=15-3\left(5-1\right)=3\left(cm\right)\)

Vậy số cạnh của đa giác đó là 5.

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\left|\dfrac{1}{a}-1\right|+\left|\dfrac{1}{b}-1\right|+\left|\dfrac{1}{c}-1\right|\)

Tìm tất cả hàm số \(f:R^+\rightarrow R^+\) thoả mãn:

\(f\left(x^2+y^2\right)=f\left(xy\right),\forall x,y\in R^+\)

Bỏ trường hợp 2c, sửa 2b:

-Tử thức \(ax^2+bx+2\) không có nghiệm là 1.

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1}ax^2+bx+2=a+b+2\ne0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}x^2-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\infty\) (loại).

- Từ điều kiện đề bài ta có: \(ax^2+bx+2\ne\pm\left(x^2-1\right)\)

Ở bài này, ta xét 2 trường hợp lớn:

1) Với \(a=0\). Ta xét 2 trường hợp nhỏ:

+ 1a) \(b\ne-2\):

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1}ax^2+bx+2=\lim\limits_{x\rightarrow1}bx+2=b+2\ne0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}x^2-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\infty\) (loại).

+ 1b) \(b=-2\). Ta có:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-2}{x+1}=\dfrac{-2}{1+1}=-1\left(loại\right)\)

2) \(a\ne0\)

- Ta xét 3 trường hợp:

+2a) \(a+b+2=0\Rightarrow b=-2-a\). Khi đó tử thức \(ax^2+bx+2\) có nghiệm là 1 và có thể viết lại thành \(ax^2+bx+2=ax^2-\left(a+2\right)x+2=a\left(x-1\right)\left(x-x_0\right)\left(1\right)\) (x₀ là nghiệm còn lại của đa thức).

\(\left(1\right)\Rightarrow ax^2-\left(a+2\right)x+2=ax^2-a\left(1+x_0\right)x+ax_0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2=a\left(1+x_0\right)\\2=ax_0\end{matrix}\right.\Rightarrow x_0=\dfrac{2}{a}\)

Vậy \(ax^2+bx+2=a\left(x-1\right)\left(x-\dfrac{2}{a}\right)=\left(x-1\right)\left(ax-2\right)\), với \(b=-a-2\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax-2}{x+1}=\dfrac{a-2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P=a.b=3.\left(-5\right)=-15\)

+2b) \(a-b+2=0\Rightarrow b=a+2\). Khi đó tử thức \(ax^2+bx+2\) có một nghiệm là -1 và có thể được viết lại thành: \(ax^2+bx+2=a\left(x+1\right)\left(x-x_0\right)\left(2\right)\) (x₀ là nghiệm còn lại của tử thức).

\(\left(2\right)\Rightarrow ax^2+\left(a+2\right)x+2=a\left(x+1\right)\left(x-x_0\right)\)

\(\Rightarrow ax^2+\left(a+2\right)x+2=ax^2+a\left(1-x_0\right)-ax_0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2=a\left(1-x_0\right)\\2=-ax_0\end{matrix}\right.\Rightarrow x_0=\dfrac{-2}{a}\)

Vậy \(ax^2+bx+2=\left(x+1\right)\left(ax+2\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax^2+bx+2}{x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax+2}{x-1}\)

 Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1}ax+2=a+2\ne0\\\lim\limits_{x\rightarrow1}x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{ax+2}{x-1}=\infty\) (loại)

+2c) Tử thức \(ax^2+bx+2\) không có nghiệm là 1 và -1. Làm tương tự như trường hợp 2b) (từ khúc tính lim).

Vậy \(P=-15\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[3]{-8x^5+6x^3+2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[3]{x^5\left(-8+6.\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x^5}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[3]{-8x^5}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}-2x^{\dfrac{5}{3}}=-\infty\)