Hừm, có lẽ mình giúp không nhanh lắm ;)

Bài 3:

Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{p}{q}\left(x,y,p,q\in Z^+\right)\)

\(\Rightarrow x=\left(\dfrac{p}{q}-\sqrt{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{p^2}{q^2}-2\dfrac{p}{q}\sqrt{y}+y\)

\(\Rightarrow2\dfrac{p}{q}\sqrt{y}=\dfrac{p^2}{q^2}+y-x\)

\(\Rightarrow\sqrt{y}=\dfrac{\dfrac{p^2}{q}+q\left(y-x\right)}{2p}\).

Dễ thấy \(\dfrac{\dfrac{p^2}{q}+q\left(y-x\right)}{2p}\in Q\), nên \(\sqrt{y}\in Q\). Mà y là số nguyên nên \(\sqrt{y}\in Z\), hay y là số chính phương. Chứng minh tương tự, x là số chính phương.

Bài 4:

Áp dụng câu trên thì x và x+1 là 2 số chính phương. Đặt \(a^2=x;b^2=x+1\) (\(a,b\in Z^{\ge0}\)).

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a+b=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a-b=-1\\a+b=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow a=1;b=0\)

Vậy x=1.

tks em nha =)

Nói như thế nghĩa là anh bí từ khúc đó rồi đó em, xin lỗi em nhé :(

Mặc dù để cfs đó cũng được, nhưng mình viết xong giờ mình không muốn nhìn lại luôn :), thôi coi như là kỷ niệm viết cfs lần đầu, với rút kinh nghiệm là lần sau không nên viết vào ban đêm .-.

Thật ra mình viết cfs đó để làm lí do cho việc viết cfs thứ hai (nếu không viết cái thứ nhất thì mình thấy có gì thiếu thiếu ấy), nên viết trước luôn hêh :/

Sr em anh bị ngộ nhận rồi ;) , tại chắc làm bài lúc khuya nên tâm trí không tỉnh táo.

Ta có: \(x^2=y^3+3y^2-3y+6\)

\(=y^3+3y^2-3y+4+2=\left(y+4\right)\left(y^2-y+1\right)+2>0\)

\(\Rightarrow y+4\ge0\Rightarrow y\ge-4\) (do nếu \(y< -4\) thì \(y+4\le-1\), suy ra \(\left(y+4\right)\left(y^2-y+1\right)+2\le-\left(y^2-y+1\right)+2=-y^2+y+1< 0\))

Ta có: \(y^3+3y^2-3y+6=y^3+3\left(y^2-y+2\right)>y^3\)

Xét \(y>0\), ta có: \(y^3+3y^2-3y+6=\left(y+1\right)^3-6y+5< \left(y+1\right)^3\)

\(\Rightarrow y^3< x^2< \left(y+1\right)^3\). Vậy với trường hợp \(y>0\) thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Xét \(0\le y\le-4\). Dễ thấy \(y=0\) không thoả:

*\(y=-1\Rightarrow x^2=11\left(loại\right)\)

*\(y=-2\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm4\)

*\(y=-3\Rightarrow x^2=15\left(loại\right)\)

*\(y=-4\Rightarrow x^2=2\left(loại\right)\)

Vậy phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm nguyên (x;y) là: (4;-2), (-4;-2).

Gợi ý: Chứng minh 3 tam giác BHX, KHX, CHX nội tiếp đường tròn đường kính HX.