\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2-3x-4xy+10y-5=0\left(1\right)\\x^2+y^2=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1) ta có : 2x² - 3x - 4xy + 10y - 5 = 0

<=> 2x² - ( 4y + 3 )x + 10y - 5 = 0 (*)

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn x

Δ = ( 4y + 3 )² - 4.2.( 10y - 5 )

= 16y² + 24y + 9 - 80y + 40

= 16y² - 56y + 49

= ( 4y - 7 )² ≥ 0 ∀ y

=> (*) luôn có hai nghiệm

\(x_1=\dfrac{4y+3+\sqrt{\left(4y-7\right)^2}}{4}=\dfrac{8y-4}{4}=2y-1\)

\(x_2=\dfrac{4y+3-\sqrt{\left(4y-7\right)^2}}{4}=\dfrac{5}{2}\)

+) Với x = x₁ = 2y - 1 thay vào (2) ta có :

( 2y - 1 )² + y² = 5

<=> 4y² - 4y + 1 + y² = 5

<=> 5y² - 4y - 4 = 0 ( bạn tự giải nốt nhé :v )

+) Với x = x₂ = 5/2 thay vào (2) ta có :

25/4 + y² = 5 ( bạn tự giải nốt nhé :v )

Xong KL ... ( xin lỗi vì mình bận nên chỉ giải được đến đây thôi :( )

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3=2\left(1\right)\\x^2y+xy^2=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) - (2) vế theo vế ta được :

x³ + y³ - x²y - xy² = 0

<=> ( x + y )³ - 3xy( x + y ) - xy( x + y ) = 0

<=> ( x + y )³ - 4xy( x + y ) = 0

<=> ( x + y )[ ( x + y )² - 4xy ] = 0

<=> ( x + y )( x - y )² = 0

<=> x = -y hoặc x = y

+) Với x = -y thay vào (1) ta được -y³ + y³ = 2 <=> 0 = 2 ( vô lí )

+) Với x = y thay vào (1) ta được y³ + y³ = 2 <=> x = y = 1

Vậy ( x ; y ) = ( 1 ; 1 )

( hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa )

Vì ABCD là hình bình hành => ^A + ^B = 180⁰

Lại có ^A - ^B = 50⁰ => \(\left\{{}\begin{matrix}A+B=180^0\\A-B=50^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=115^0\\B=65^0\end{matrix}\right.\)

Vì ABCD là hình bình hành => ^A = ^C = 115⁰ ; ^B = ^D = 65⁰

Với a = 0 ta có \(\left\{{}\begin{matrix}-2y=0\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)( không thỏa mãn đề bài )

Với a ≠ 0 ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a^2x-2y=0\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\left(4-y\right)-2y=0\\x=4-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a^2-a^2y-2y=0\\x=4-y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2+2\right)y=-4a^2\\x=4-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-4a^2}{a^2+2}\\x=4+\dfrac{4a^2}{a^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{8a^2+8}{a^2+2}\\y=\dfrac{-4a^2}{a^2+2}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{8a^2+8}{a^2+2}\\y=\dfrac{-4a^2}{a^2+2}\end{matrix}\right.\)là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

Để hệ phương trình có nghiệm x = -4 , y = 4a thì :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{8a^2+8}{a^2+2}=-4\\4a=\dfrac{-4a^2}{a^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a^2+8=-4a^2-8\\4a^3+8a=-4a^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a^2+4=0\\a^3+a^2+2a=0\end{matrix}\right.\)( đến đây bạn tự giải nốt rồi kết luận nhé :v ) 

Câu 3.

Xét phương trình (1) ta có :

Δ = [ 2( m - 1 ) ]² - 4( m - 5 )

= 4( m² - 2m + 1 ) - 4m + 20

= 4m² - 8m + 4 - 4m + 20

= 4m² - 12m + 24

= ( 2m - 3 )² + 15 ≥ 15 > 0 ∀ m

=> Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ( đpcm )

*nhìn thiếu đề:(

Bài 2

b) Để (d) và (d') song song với nhau thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}2m-3=3\\5\ne m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Vậy không có giá trị của m để (d) và (d') song song với nhau 

c) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là :

x² = 3x - 2 <=> x² - 3x + 2 = 0

Vì a + b + c = 0 => Phương trình có hai nghiệm x₁ = 1 ; x₂ = c/a = 2

Với x = 1 => y = 1 => (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tọa độ (1;1)

Với x = 2 => y = 4 => (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tọa độ (2;4)

Vậy ... 

Bài 2

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=30\\x-2y=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=24\\x-2y=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=6\)

Vậy (x;y)=(6;6) là nghiệm của hệ phương trình 

Bài 1

a) 5√5 - √45 = 5√5 - 3√5 = 2√5

b) \(\dfrac{5}{x-3}\cdot\sqrt{\dfrac{x^2-6x+9}{25x^2}}=\dfrac{5}{x-3}\cdot\sqrt{\dfrac{\left(x-3\right)^2}{\left(5x\right)^2}}=\dfrac{5}{x-3}\cdot\dfrac{\left|x-3\right|}{\left|5x\right|}=\dfrac{5}{x-3}\cdot\dfrac{3-x}{5x}=-\dfrac{1}{x}\left(0< x< 3\right)\)

Đặt A = 2ⁿ + 1 (*)

+) Với n = 1 ta có A = 3 chia hết cho 3

+) Với n > 1 giả sử (*) đúng với n = 2k + 1( k thuộc N ) => 2^2k+1 + 1 chia hết cho 3

Cần chứng minh (*) đúng với n = 2k + 3

Ta có : A = 2ⁿ + 1 = 2^2k+3 + 1 = 2^2k+1+2 + 1 = 2^2k+1.2² + 1 

= 4( 2^2k+1 - 2 ) + 9 = 4( 2^2k+1 + 1 - 3 ) + 9 = 4.(2^2k+1 + 1 ) - 3 chia hết cho 3 ( theo giả thiết quy nạp )

Vậy ta có đpcm 

Bài giải này nếu có sai sót mong các bạn/anh/chị sửa ạ:v