Ôn tập chương II

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ \(0^0\) ĐẾN \(180^0\)

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), nửa đường tròn tâm \(O\) nằm phía trên trục hoành bán kính \(R=1\) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^o\le\alpha\le180^o\)) ta xác định được duy nhất một điểm \(M\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=\alpha\) và giả sử điểm \(M\) có toạ độ \(M\left(x_0;y_0\right)\). Khi đó ta định nghĩa:

      + \(\sin\) của góc \(\alpha\) là \(y_0\), kí hiệu \(\sin\alpha=y_0\) ;

      + côsin của góc \(\alpha\) là \(x_0\), kí hiệu là \(\cos\alpha=x_0\) ;

      + tang của góc \(\alpha\) là \(\dfrac{y_0}{x_0}\) (\(x_0\ne0\)), kí hiệu là \(\tan\alpha=\dfrac{y_0}{x_0}\) ;

      + côtang của góc \(\alpha\) là \(\dfrac{x_0}{y_0}\) (\(y_0\ne0\)), kí hiệu là \(\cot\alpha=\dfrac{x_0}{y_0}\).

Các số \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).

Chú ý: +) Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\cos\alpha< 0\), \(\tan\alpha< 0\), \(\cot\alpha< 0\).

            +) \(\tan\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha\ne90^o\)

               \(\cot\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha\ne0^o\) và \(\alpha\ne180^o\).

2. Tính chất

               \(\sin\alpha=\sin\left(180^o-\alpha\right)\)

               \(\cos\alpha=-\cos\left(180^o-\alpha\right)\)

               \(\tan\alpha=-\tan\left(180^o-\alpha\right)\)

               \(\cot\alpha=-\cot\left(180^o-\alpha\right)\)

Ví dụ: \(\sin20^o=\sin160^o\) (do \(20^o+160^o=180^o\))

          \(\cos52^o=-\cos128^o\) (do \(52^o+128^o=180^o\))

          \(\tan30^o=-\tan150^o\) (do \(30^o+150^o=180^o\))

          \(\cot75^o=-\cot105^o\) (do \(75^o+105^o=180^o\))

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Trong bảng, kí hiệu "\(||\)" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

4. Góc giữa hai vectơ

- Định nghĩa: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Từ một điểm \(O\) bất kì ta vẽ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Góc \(\widehat{AOB}\) với số đo từ \(0^o\) đến \(180^o\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\). Nếu \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90^o\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau, kí hiệu là \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\) hoặc \(\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{a}\).

- Chú ý: Từ định nghĩa ta có \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right)\).

Nhận xét: Khi hai vectơ cùng hướng thì góc giữa hai vectơ bằng \(0^o\) ;

                Khi hai vectơ ngược hướng thì góc giữa hai vectơ bằng \(180^o\).

II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\). Tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\), được xác định bởi công thức: 

              \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\)

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng vectơ \(\overrightarrow{0}\) ta quy ước \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\)

Chú ý: +) Với  \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) ta có \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)

            +) Khi \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}\)  được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}^2\) và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{a}\).

Ta có: \(\overrightarrow{a}^2=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|\cos0^0=\left|\overrightarrow{a}\right|^2\)

2. Các tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) bất kì và mọi số \(k\) ta có:

           \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\) (tính chất giao hoán)  ;

           \(\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\) (tính chất phân phối)  ;

           \(\left(k\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{b}=k\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}.\left(k\overrightarrow{b}\right)\)  ;

           \(\overrightarrow{a}^2\ge0,\overrightarrow{a}^2=0\Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\).

Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

           \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)  ;

           \(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)  ;

           \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2\).

3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng toạ độ \(\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\) cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)\). Khi đó tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) là:

            \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)

Nhận xét: Hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a_1b_1+a_2b_2=0\).

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ 

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)\) được tính theo công thức:

           \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)\) đều khác \(\overrightarrow{0}\) thì ta có: 

         \(\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b\text{​​}\text{​​}_1^2+b_2^2}}\)

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm \(A\left(x_A;y_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B\right)\) được tính theo công thức:

          \(AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\)

III. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

1. Định lí côsin

- Nội dung định lí:

Trong tam giác \(ABC\) bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\) ta có:

           \(a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\)

           \(b^2=a^2+c^2-2ac.\cos B\)

           \(c^2=a^2+b^2-2ab.\cos C\)

Từ định lí côsin ta suy ra:

- Hệ quả: 

          \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) ;

          \(\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\) ;

          \(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).

- Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(BC=a,CA=b,AB=c\). Gọi \(m_a\), \(m_b\) và \(m_c\) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh \(A,B,C\) của tam giác.

Ta có:

             \(m_a^2=\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\)  ;

             \(m_b^2=\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\)  ;

             \(m_c^2=\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}{4}\).

​2. Định lí sin

Trong tam giác \(ABC\) bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

              \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)

3. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác \(ABC\) bất kì với \(BC=a,CA=b,AB=c\) .

Gọi \(R,r\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác và \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi của tam giác.

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được tính theo một trong các công thức:

           \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}bc\sin A\)                    (1)

           \(S=\dfrac{abc}{4R}\)                                                                     (2)

           \(S=pr\)                                                                        (3)

           \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) (công thức Hê-rông) (4)

4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.

Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a=17,4m\) , \(\widehat{B}=44^030'\) và \(\widehat{C}=64^0\). Tính góc \(\widehat{A}\) và các cạnh \(b,c\).

Giải:

Ta có: \(\widehat{A}=180^0-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=180^0-\left(44^030'+64^0\right)=71^030'\)

Theo định lí sin ta có \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)

do đó \(b=\dfrac{a\sin B}{\sin A}=\dfrac{17,4.\sin44^030'}{\sin71^030'}\approx12,9\left(m\right)\)

          \(c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{17,4.\sin64^0}{\sin71^030'}\approx16,5\left(m\right)\)

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(a=49,4cm\), \(b=26,4cm\) và \(\widehat{C}=47^020'\). Tính cạnh \(c\), góc \(\widehat{A}\) và góc \(\widehat{B}\).

Giải:

Theo định lí côsin ta có \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)

Nên \(c^2=\left(49,4\right)^2+\left(26,4\right)^2-2.49,4.26,4.\cos47^020'\approx1369,66\)

Suy ra \(c\approx\sqrt{1369,66}\approx37\left(cm\right)\)

Ta có \(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\approx\dfrac{\left(26,4\right)^2+37^2-\left(49,4\right)^2}{2.26,4.37}\approx-0,191\)

Như vậy góc \(\widehat{A}\) tù và ta có \(\widehat{A}\approx101^0\).

Do đó \(\widehat{B}=180^0-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)\approx31^040'\)