Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khác1. Đường phân giác của tam giác
Trong tam giác \(ABC\), tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(M\).
Khi đó, đoạn thẳng \(AM\) được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh \(A\)) của tam giác \(ABC\). Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng \(AM\) là đường phân giác của tam giác \(ABC\).
Tương tự như vậy:
+ Tia phân giác của góc \(B\) cắt cạnh \(AC\) tại điểm \(N\). Khi đó đoạn thẳng (hay đường thẳng) \(BN\) được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh \(B\)) của tam giác \(ABC\).
+ Tia phân giác của góc \(C\) cắt cạnh \(AB\) tại điểm \(P\). Khi đó đoạn thẳng (hay đường thẳng) \(CP\) được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh \(C\)) của tam giác \(ABC\).
Như vậy, mỗi tam giác có 3 đường phân giác.
Xét tam giác \(ABC\) trên, 3 đường phân giác của tam giác là \(AM\), \(BN\) và \(CP\).
Ta có tính chất:
Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
Ví dụ: Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(AM\) là đường phân giác xuất phát từ đỉnh \(A\):
Ta chứng minh được \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC\), nghĩa là \(M\) là trung điểm \(BC\), như sau:
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:
\(AB=AC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (do \(AM\) là phân giác góc \(A\))
\(AM\) chung
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)
Nên \(MB=MC\) (hai cạnh tương ứng)
Suy ra \(M\) là trung điểm \(BC\).
@1727170@
2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Định lí:
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Chứng minh định lí: Xét tam giác \(ABC\), gọi \(I\) là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh \(B\) và đỉnh \(C\) của tam giác. Ta sẽ chứng minh \(AI\) là tia phân giác góc \(A\) và \(I\) cách đều 3 cạnh của tam giác \(ABC\) .
Vì \(I\) nằm trên tia phân giác \(BE\) của góc \(B\) nên theo định lí về tính chất của tia phân giác, ta có: \(IL=IH\) (1)
Vì \(I\) nằm trên tia phân giác \(CF\) của góc \(C\) nên theo định lí về tính chất của tia phân giác, ta có: \(IK=IH\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(IL=IK=IH\)
Mặt khác, do \(IL=IK\), hay \(I\) cách đều hai cạnh \(AB,AC\) của góc \(A\). Suy ra \(I\) nằm trên tia phân giác góc \(A\), hay \(AI\) chính là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh \(A\)) của tam giác \(ABC\).
Tóm lại: 3 đường phân giác của tam giác \(ABC\) đồng quy tại điểm \(I\) và điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác, nghĩa là \(IL=IK=IH\).
Ví dụ 1: Cho tam giác \(MNP\) có \(I\) là giao điểm 2 tia phân giác góc \(N\) và góc \(P\). Biết \(\widehat{NMP}=70^0\).
a) Tính góc \(\widehat{NIP}\)?
b) Tính góc \(\widehat{NMI}\)?
c) Điểm \(I\) có cách đều 3 cạnh của tam giác không? Vì sao?
Giải:
a) Xét trong tam giác \(MNP\) ta có: \(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^0\)
Mà \(\widehat{NMP}=70^0\) \(\Rightarrow\widehat{N}+\widehat{P}=180^0-70^0=110^0\)
Lại có: \(I\) là giao điểm 2 tia phân giác góc \(N\) và góc \(P\)
\(\Rightarrow\widehat{INP}=\dfrac{1}{2}\widehat{N};\widehat{IPN}=\dfrac{1}{2}\widehat{P}\)
\(\Rightarrow\widehat{INP}+\widehat{IPN}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{N}+\widehat{P}\right)=\dfrac{1}{2}.110^0=55^0\)
Xét trong tam giác \(INP\) ta có: \(\widehat{INP}+\widehat{IPN}+\widehat{NIP}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{NIP}=180^0-55^0=125^0\)
b) Do \(I\) là giao điểm 2 tia phân giác góc \(N\) và góc \(P\)
Nên ta suy ra \(MI\) là tia phân giác góc \(M\) (tương tự cách chứng minh định lí)
\(\Rightarrow\widehat{NMI}=\dfrac{1}{2}\widehat{M}=\dfrac{1}{2}.70^0=35^0\)
c) Do \(I\) là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác \(MNP\)
Theo định lí về tính chất 3 đường phân giác trong tam giác
suy ra \(I\) cách đều 3 cạnh của tam giác \(MNP\).
@1726412@