Bài 4: Ôn tập chương Khối đa diện

I. KHÁI NIỆM HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN

1. Khái niệm hình đa diện, khối đa diện

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất:

- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chí có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

- Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Ví dụ:

Các hình đa diện thường gặp: Hình chóp, hình lăng trụ, hình chóp cụt, hình lập phương, hình hộp chữ nhật,..

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài,... của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài,... của hình đa diện tương ứng.
2. Phép dời hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với điểm \(M'\) xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ ý.

Ví dụ:

+) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}\): là phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(M'\) sao cho \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\).

+) Phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left(P\right)\):

+) Phép đối xứng tâm \(O\):

+) Phép đối xứng qua đường thẳng \(\Delta\) (hay phép đối xứng qua trục \(\Delta\)):

Nhận xét:

    + Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình ;

    + Phép dời hình biến đa diện \(\left(H\right)\) thành đa diện \(\left(H'\right)\) , biến đỉnh, cạnh, mặt của \(\left(H\right)\) thành đỉnh, cạnh, mặt của \(\left(H'\right)\).

3. Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

4. Phân chia và lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện \(\left(H\right)\) là hợp của hai khối đa diện \(\left(H_1\right),\left(H_2\right)\) sao cho \(\left(H_1\right)\) và \(\left(H_2\right)\) không có điểm chung nào thì ta nói có thể chia khối đa diện \(\left(H\right)\) thành hai khối đa diện \(\left(H_1\right)\) và \(\left(H_2\right)\), hay có thể ghép hai khối đa diện \(\left(H_1\right)\) và \(\left(H_2\right)\) thành khối đa diện \(\left(H\right)\).

Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành những khối tứ diện.

II. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

1. Khối đa diện lồi

Khối đa diện \(\left(H\right)\) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của \(\left(H\right)\) luôn thuộc \(\left(H\right)\). Khi đó đa diện xác định \(\left(H\right)\) được gọi là đa diện lồi.

Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác, khối hộp, khối tứ diện,... đều là các khối đa diện lồi.

Nhận xét: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.

2. Khối đa diện đều

Định nghĩa:

Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều \(p\) cạnh ;

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng \(q\) mặt.

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại \(\left\{p;q\right\}\).

Nhận xét: Các mặt của khối đa diện đều là các đa giác đều bằng nhau.

Định lí:

Chỉ có \(5\) loại đa diện đều. Đó là loại \(\left\{3;3\right\}\), loại \(\left\{4;3\right\}\), loại \(\left\{3;4\right\}\), loại \(\left\{5;3\right\}\) và loại \(\left\{3;5\right\}\).

Năm loại khối đa diện đều kể trên theo thứ tự được gọi là khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối mười hai mặt đều và và khối hai mươi mặt đều.

III. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Có thể đặt tương ứng mỗi khối đa diện \(\left(H\right)\) với một số dương duy nhất \(V_{\left(H\right)}\) thoả mãn các tính chất:

a) Nếu \(\left(H\right)\) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì \(V_{\left(H\right)}=1\).

b) Nếu hai khối đa diện \(\left(H_1\right)\) và \(\left(H_2\right)\) bằng nhau thì \(V_{\left(H_1\right)}=V_{\left(H_2\right)}\).

c) Nếu khối đa diện \(\left(H\right)\) được phân chia thành hai khối đa diện \(\left(H_1\right)\) và \(\left(H_2\right)\) thì \(V_{\left(H\right)}=V_{\left(H_1\right)}+V_{\left(H_2\right)}\).

Số dương \(V_{\left(H\right)}\) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện \(\left(H\right)\).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là

                                    \(V=Bh\).

Thể tích khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là

                                   \(V=\dfrac{1}{3}Bh\).