Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Một cách tổng quát, diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) được tính theo công thức:

                               \(S=\int_a^b\left|f\left(x\right)\right|dx\)

Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1,x=2\).

Giải:

Ta có \(x^3\le0\) trên đoạn \(\left[-1;0\right]\) và \(x^3\ge0\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\). Áp dụng công thức trên ta có:

   \(S=\int_{-1}^2\left|x^3\right|dx=\int_{-1}^0\left(-x^3\right)dx+\int_0^2x^3dx\)

                            \(=-\dfrac{x^4}{4}|^0_{-1}+\dfrac{x^4}{4}|^2_0=\dfrac{17}{4}\)

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số \(y=f_1\left(x\right)\) và \(y=f_2\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và hai đường thẳng \(x=a,x=b\).

Khi đó diện tích \(S\) của hình \(D\) được tính bởi công thức:

                               \(S=\int_a^b\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx\)

Chú ý: Muốn áp dụng được công thức này ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta giải phương trình \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)=0\) trên đoạn \(\left[a;b\right]\). Giả sử phương trình có hai nghiệm \(c,d\left(c< d\right)\). Khi đó \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\) không đổi dấu trên từng đoạn \(\left[a;c\right],\left[c;d\right],\left[d;b\right]\). Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn đoạn \(\left[a;c\right]\), ta có

                          \(\int_a^c\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx=\left|\int_a^c\left[f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right]dx\right|\)

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \(x=0,x=\pi\) và đồ thị của hai hàm số \(y=\cos x,y=\sin x\).

Giải:

Đặt \(f_1\left(x\right)=\cos x,f_2\left(x\right)=\sin x\)

Ta có \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)=0\Leftrightarrow\cos x-\sin x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}\in\left[0;\pi\right]\)

Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là:

\(S=\int_0^{\pi}\left|\cos x-\sin x\right|dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{4}}\left|\cos x-\sin x\right|dx+\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\pi}\left|\cos x-\sin x\right|dx\)

   \(=\left|\int_0^{\dfrac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx\right|+\left|\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\pi}(\cos x-\sin x)dx\right|\)

   \(=\left|\left(\sin x+\cos x\right)|^{\dfrac{\pi}{4}}_0\right|+\left|\left(\sin x+\cos x\right)|^{\pi}_{\dfrac{\pi}{4}}\right|=2\sqrt{2}\)

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong \(y=x^3-x\) và \(y=x-x^2\).

Giải:

Ta có \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)=\left(x^3-x\right)-\left(x-x^2\right)=x^3+x^2-2x\)

Phương trình \(f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)=0\) có các nghiệm \(x_1=-2,x_2=0,x_3=1\)

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là:

   \(S=\int_{-2}^1\left|x^3+x^2-2x\right|dx=\left|\int_{-2}^0\left(x^3+x^2-2x\right)dx\right|+\left|\int_0^1\left(x^3+x^2-2x\right)dx\right|\)

      \(=\left|\left(\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x^2\right)|^0_{-2}\right|+\left|\left(\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x^2\right)|^1_0\right|\)

      \(=\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{12}=\dfrac{37}{12}\).

II. TÍNH THỂ TÍCH

1. Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể \(\lambda\) bởi hai mặt phẳng \(\left(P\right)\) và \(\left(Q\right)\) vuông góc với trục hoành lần lượt tại \(x=a,x=b\) \(\left(a< b\right)\). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục hoành tại điểm \(x\) (\(a\le x\le b\)) cắt \(\lambda\) bởi một thiết diện có diện tích \(S\left(x\right)\). Giả sử \(S\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\).

Người ta chứng minh được rằng thể tích \(V\) của phần vật thể \(\lambda\) giới hạn bởi hai mặt phẳng \(\left(P\right)\) và \(\left(Q\right)\) được tính bởi công thức:

                                  \(V=\int_a^bS\left(x\right)dx\)

Ví dụ 4: Tính diện tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(B\) và chiều cao bằng \(h\).

Giải:

Chọn trục \(Ox\) song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(x=0,x=h\).

Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục \(Ox\) cắt lăng trụ theo diện tích không đổi \(S\left(x\right)=B\) (\(0\le x\le h\)). Áp dụng công thức tính thể tích trên ta có:

            \(V=\int_0^hS\left(x\right)dx=\int_0^hBdx=Bx|^h_0=Bh\).

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

a) Cho khối chóp có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \(B\).

Chọn trục \(Ox\) vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm \(I\) sao cho gốc \(O\) trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác định bởi vectơ \(\overrightarrow{OI}\). Khi đó \(OI=h\). Một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) vuông góc với \(Ox\) tại \(x\left(0\le x\le h\right)\) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là \(S\left(x\right)\).

 Khi đó thể tích \(V\) của khối chóp được tính bởi công thức:

        \(V=\int_0^hS\left(x\right)dx=\int_0^hB\dfrac{x^2}{h^2}dx=\dfrac{B}{h^2}\left(\dfrac{x^3}{3}\right)|^h_0=\dfrac{Bh}{3}\)

b) Cho hình chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh \(S\) có diện tích hai đáy lần lượt là \(B,B'\) và chiều cao \(h\).

Chọn trục \(Ox\) trùng với đường cao của  hình chóp và gốc \(O\) trùng với đỉnh \(S\). Hai mặt phẳng đáy của hình chóp cụt cắt trục \(Ox\) tại \(I\) và \(I'\). Đặt \(OI=b,OI'=a\left(a< b\right)\). Gọi \(V\) là thể tích của hình chóp cụt. Ta có:

    \(V=\int_a^bB\dfrac{x^2}{b^2}dx=\dfrac{B}{3b^2}\left(b^3-a^3\right)=B.\dfrac{b-a}{3}.\dfrac{a^2+ab+b^2}{b^2}\)

Vì \(B'=B\dfrac{a^2}{b^2}\) và \(h=b-a\) nên

   \(V=\dfrac{h}{3}\left(B+\sqrt{BB'}+B'\right)\)

III. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay. Khi đó thể tích \(V\) của khối tròn xoay đó được tính bởi công thức:

                                \(V=\pi\int_a^bf^2\left(x\right)dx\).

Ví dụ 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=\sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0,x=\pi\). Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục \(Ox\).

Giải:

Áp dụng công thức trên ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là:

   \(V=\pi\int_0^{\pi}\sin^2xdx=\dfrac{\pi}{2}\int_0^{\pi}\left(1-\cos2x\right)dx=\dfrac{\pi}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\sin2x\right)|^{\pi}_0=\dfrac{\pi^2}{2}\).