Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn của \(\dfrac{\sin x}{x}\)

Định lí:

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin x}{x}=1\).

Ví dụ 1: Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\tan x}{x}\).

Giải:

Ta có: \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\tan x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{\sin x}{x}.\dfrac{1}{\cos x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin x}{x}.\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{\cos x}=1.1=1\)

Ví dụ 2: Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin2x}{x}\).

Giải:

Ta có: \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin2x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}2\left(\dfrac{\sin2x}{2x}\right)=2.\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin2x}{2x}=2.1=2\)

2. Đạo hàm của hàm số \(y=\sin x\)

Hàm số \(y=\sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x\in R\) và

           \(\left(\sin x\right)'=\cos x\).

Chú ý: Nếu \(y=\sin u\) và \(u=u\left(x\right)\) thì 

           \(\left(\sin u\right)'=u'.\cos u\)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số:

        a) \(y=\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{5}\right)\) ;

        b) \(y=\sin\sqrt{1+x^2}\).

Giải:

a) Đặt \(u=3x+\dfrac{\pi}{5}\) thì \(y=\sin u\) và \(u'=3\)

Ta có: \(y'=u'.\cos u=3\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{5}\right)\)

b) Đặt \(u=\sqrt{1+x^2}\) thì \(y=\sin u\) 

    Ta có \(u'=\left(\sqrt{1+x^2}\right)'=\dfrac{\left(1+x^2\right)'}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

    Khi đó : \(y'=u'.\cos u=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}.\cos\sqrt{1+x^2}\)

3. Đạo hàm của hàm số \(y=\cos x\)

Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x\in R\) và 

           \(\left(\cos x\right)'=-\sin x\).

Chú ý: Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u\left(x\right)\) thì 

           \(\left(\cos u\right)'=-u'.\sin u\)

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số:

           a) \(y=\cos\left(x^3-1\right)\) ;

           b) \(y=\cos\dfrac{x}{1+x}\)

Giải:

a) Đặt \(u=x^3-1\) thì \(y=\cos u\) và \(u'=3x^2\)

    Ta có: \(y'=-u'.\sin u=-3x^2.\sin\left(x^3-1\right)\)

b) Đặt \(u=\dfrac{x}{1+x}\) thì \(y=\cos u\)  

    Ta có: \(-u'=-\left(\dfrac{x}{1+x}\right)'=-\left(1-\dfrac{1}{1+x}\right)'=\left(\dfrac{1}{1+x}\right)'=\dfrac{-1}{\left(1+x\right)^2}\)

    Khi đó: \(y'=-u'.\sin u=-\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}.\sin\dfrac{x}{1+x}\).

4. Đạo hàm của hàm số \(y=\tan x\)

Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\) và

           \(\left(\tan x\right)'=\dfrac{1}{\cos^2x}\).

Chú ý: Nếu \(y=\tan u\) và \(u=u\left(x\right)\) thì

           \(\left(\tan u\right)'=\dfrac{u'}{\cos^2u}\)

Ví dụ 5: a) Tìm đạo hàm của hàm số \(y=\tan\left(3x^2+5\right)\) ;

              b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\tan\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)\) tại \(x=0\).

Giải:

a) Đặt \(u=3x^2+5\) thì \(y=\tan u\) và \(u'=6x\)

    Do đó: \(y'=\dfrac{u'}{\cos^2u}=\dfrac{6x}{\cos^2\left(3x^2+5\right)}\)

b) Đặt \(u=x-\dfrac{2\pi}{3}\) thì \(y=\tan u\) và \(u'=1\)

    Do đó: \(y'=\dfrac{u'}{\cos^2u}=\dfrac{1}{\cos^2\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)}\)

    Vậy \(y'\left(0\right)=\dfrac{1}{\cos^2\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\).

5. Đạo hàm của hàm số \(y=\cot x\)

Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne k\pi,k\in Z\) và

         \(\left(\cot x\right)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}\).

Chú ý: Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u\left(x\right)\) thì

          \(\left(\cot u\right)'=-\dfrac{u'}{\sin^2u}\).

Ví dụ 6: Tìm đạo hàm của hàm số \(y=\cot^3\left(3x-1\right)\).

Giải:

Đặt \(u=\cot\left(3x-1\right)\) thì \(y=u^3\) 

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

       \(y'_x=y'_u.u'_x=3u^2.u'_x=3\cot^2\left(3x-1\right).\left[\cot\left(3x-1\right)\right]'\)

                          \(=3\cot^2\left(3x-1\right).\dfrac{-\left(3x-1\right)'}{\sin^2\left(3x-1\right)}\)

                          \(=3\cot^2\left(3x-1\right).\dfrac{-3}{\sin^2\left(3x-1\right)}\)

                          \(=-\dfrac{9.\cos^2\left(3x-1\right)}{\sin^4\left(3x-1\right)}\).

Bảng đạo hàm: