Bài 25. Phép cộng và phép trừ phân số

1. PHÉP CỘNG HAI PHÂN SỐ

Cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu:

\(\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{m}=\dfrac{a+b}{m}\).

Ví dụ 1. Tính:

a) \(\dfrac{-8}{15}+\dfrac{7}{15}\);

b) \(\dfrac{-5}{24}+\dfrac{-11}{24}\).

Giải:

a) \(\dfrac{-8}{15}+\dfrac{7}{15}=\dfrac{\left(-8\right)+7}{15}=\dfrac{-1}{15}\);

b) \(\dfrac{-5}{24}+\dfrac{-11}{24}=\dfrac{\left(-5\right)+\left(-11\right)}{24}=\dfrac{-16}{24}=\dfrac{-2}{3}\).

Cộng hai phân số không cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ 2. Tính:

a) \(\dfrac{-5}{12}+\dfrac{3}{8}\);

b) \(\dfrac{-13}{36}+\dfrac{-4}{9}\).

Giải:

a) \(\dfrac{-5}{12}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{\left(-5\right)\cdot2}{12\cdot2}+\dfrac{3\cdot3}{8\cdot3}=\dfrac{-10}{24}+\dfrac{9}{24}=\dfrac{\left(-10\right)+9}{24}=\dfrac{-1}{24}\).

b) \(\dfrac{-13}{36}+\dfrac{-4}{9}=\dfrac{-13}{36}+\dfrac{\left(-4\right)\cdot4}{9\cdot4}=\dfrac{-13}{36}+\dfrac{-16}{36}=\dfrac{\left(-13\right)+\left(-16\right)}{36}=\dfrac{-29}{36}\).

Số đối

Hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. Kí hiệu số đối của phân số \(\dfrac{a}{b}\) là \(-\dfrac{a}{b}\).

\(\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0\).

Lưu ý: \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}\).

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CỘNG PHÂN SỐ

Tương tự như phép cộng số nguyên, phép cộng phân số cũng có các tính chất:

• Giao hoán: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{c}{d}+\dfrac{a}{b}\).
• Kết hợp: \(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)+\dfrac{e}{f}=\dfrac{a}{b}+\left(\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}\right)\).

Ví dụ 3. Tính một cách hợp lí: \(A=\dfrac{-7}{9}+\dfrac{3}{11}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{-8}{11}\).

Giải:

\(A=\dfrac{-7}{9}+\dfrac{3}{11}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{-8}{11}\)

    \(=\dfrac{-7}{9}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{3}{11}+\dfrac{-8}{11}\)                  ← Tính chất giao hoán

    \(=\left(\dfrac{-7}{9}+\dfrac{7}{9}\right)+\left(\dfrac{3}{11}+\dfrac{-8}{11}\right)\)     ← Tính chất kết hợp

    \(=0+\dfrac{-5}{11}=\dfrac{-5}{11}\).                             ← Cộng với số 0

3. PHÉP TRỪ HAI PHÂN SỐ

1. Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ đi tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu.

\(\dfrac{a}{m}-\dfrac{b}{m}=\dfrac{a-b}{m}\).

2. Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu hai phân số, rồi trừ hai phân số đó.

Ví dụ 4. Tính:

a) \(\dfrac{15}{47}-\dfrac{-12}{47}\); 

b) \(\dfrac{5}{11}-\dfrac{-6}{5}\);

c) \(-6-\dfrac{4}{9}\).

Giải:

a) \(\dfrac{15}{47}-\dfrac{-12}{47}=\dfrac{15-\left(-12\right)}{47}=\dfrac{27}{47}\).

b)  \(\dfrac{5}{11}-\dfrac{-6}{5}=\dfrac{5\cdot5}{11\cdot5}-\dfrac{\left(-6\right)\cdot11}{5\cdot11}=\dfrac{25}{55}-\dfrac{-66}{55}=\dfrac{91}{55}\).

c) \(-6-\dfrac{4}{9}=\dfrac{-6}{1}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{\left(-6\right)\cdot9}{1\cdot9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{-54}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{\left(-54\right)-4}{9}=\dfrac{-58}{9}\).

Lưu ý. Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta có thể cộng số bị trừ với số đối của số trừ.

Chẳng hạn: \(\dfrac{9}{16}-\dfrac{-3}{8}=\dfrac{9}{16}-\dfrac{\left(-3\right)\cdot2}{8\cdot2}=\dfrac{9}{16}-\dfrac{-6}{16}=\dfrac{15}{16}\).