Bài 1: Lũy thừa

I. KHÁI NIỆM LUỸ THỪA

1. Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho \(n\) là một số nguyên dương. 

Với \(a\) là số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\).

                                 \(a^n=a.a.a...a\) (\(n\) thừa số \(a\))

Với \(a\ne0\):                 \(a^0=1\) ; 

                                 \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)

Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là @47113@.

Chú ý: \(0^0\) và \(0^{-n}\) không có nghĩa;

           Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức \(A=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-10}.27^{-3}+\left(0,2\right)^{-4}.25^{-2}+128^{-1}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-9}\).

Giải:

Ta có: \(A=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-10}.27^{-3}+\left(0,2\right)^{-4}.25^{-2}+128^{-1}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-9}\)

              \(=3^{10}.\dfrac{1}{27^3}+\dfrac{1}{0,2^4}.\dfrac{1}{25^2}+\dfrac{1}{128}.2^9\)

              \(=3+1+4=8\)

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức \(B=\left[\dfrac{a\sqrt{2}}{\left(1+a^2\right)^{-1}}-\dfrac{2\sqrt{2}}{a^{-1}}\right].\dfrac{a^{-3}}{1-a^{-2}}\) (\(a\ne0,a\ne\pm1\)).

Giải:

Với \(a\ne0,a\ne\pm1\), ta có:

      \(B=\left[\dfrac{a\sqrt{2}}{\left(1+a^2\right)^{-1}}-\dfrac{2\sqrt{2}}{a^{-1}}\right].\dfrac{a^{-3}}{1-a^{-2}}\)

          \(=\left[a\sqrt{2}\left(1+a^2\right)-2\sqrt{2}a\right].\dfrac{1}{a^3.\left(1-a^{-2}\right)}\)

          \(=\left(a\sqrt{2}+a^3\sqrt{2}-2a\sqrt{2}\right).\dfrac{1}{a^3-a}\)

          \(=a\sqrt{2}\left(a^2-1\right).\dfrac{1}{a\left(a^2-1\right)}=\sqrt{2}\)

2. Phương trình \(x^n=b\)

- Trường hợp \(n\) lẻ: Với mọi số thực \(b\), phương trình có nghiệm duy nhất.

- Trường hợp \(n\) chẵn: 

           Với \(b< 0\), phương trình vô nghiệm ;

           Với \(b=0\), phương trình có một nghiệm \(x=0\) ;

           Với \(b>0\), phương trình có hai nghiệm đối nhau.

3. Căn bậc \(n\)

a) Khái niệm

Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n\) \(\left(n\ge2\right)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(b\) nếu \(a^n=b\).

Từ định nghĩa ta có thể biện luận số nghiệm của phương trình \(x^n=b\):

Với \(n\) lẻ: Với mọi số thực \(b\), phương trình có nghiệm duy nhất là căn bậc \(n\) của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).

Với \(n\) chẵn: 

              \(b< 0\), không tồn tại căn bậc \(n\) của \(b\), phương trình vô nghiệm ;

              \(b=0\), có một căn bậc \(n\) của \(b\) là 0 ;

              \(b>0\), có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{b}\), kí hiệu giá trị âm là \(-\sqrt[n]{b}\).

b) Tính chất của căn bậc \(n\)

             \(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) ; 

             \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) ;

              \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\) ;

              \(\sqrt[n]{a^n}=a\) khi \(n\) lẻ , \(\sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|\) khi \(n\) chẵn ;

              \(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\).

Ví dụ 3: 

    +) \(\sqrt[5]{4}.\sqrt[5]{-8}=\sqrt[5]{4.\left(-8\right)}=\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{\left(-2\right)^5}=-2\) ;

    +) \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}=\sqrt[3]{\left(\sqrt{3}\right)^3}=\sqrt{3}\).

4. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực \(a\) dương và số hữu tỉ \(r=\dfrac{m}{n}\), trong đó \(m\in Z,n\in N,n\ge2\). Luỹ thừa của \(a\) với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác định bởi

               \(a^r=a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức \(D=\dfrac{x^{\dfrac{5}{4}}y+xy^{\dfrac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}\) (\(x,y>0\)).

Giải:

Với \(x,y>0\) theo định nghĩa ta có:

     \(D=\dfrac{x^{\dfrac{5}{4}}y+xy^{\dfrac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}\) \(=\dfrac{xy\left(x^{\dfrac{1}{4}}+y^{\dfrac{1}{4}}\right)}{x^{\dfrac{1}{4}}+y^{\dfrac{1}{4}}}=xy\)

5. Luỹ thừa với số mũ vô tỉ

Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số hữu tỉ. Luôn có một dãy số hữu tỉ \(\left(r_n\right)\) có giới hạn là \(\alpha\) và dãy số tương ứng \(\left(a^{r_n}\right)\) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số \(\left(r_n\right)\).

Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left(a^{r_n}\right)\) là luỹ thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}\). 

               \(a^{\alpha}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a^{r_n}\) với \(\alpha=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}r_n\)

Chú ý: Từ định nghĩa, ta có \(1^{\alpha}=1\left(\alpha\in R\right)\).

II. TÍNH CHẤT CỦA LUỸ  THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Luỹ thừa với số mũ thực có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Cho \(a,b\) là các số thực dương, \(\alpha,\beta\) là các số thực tuỳ ý. 

              \(a^{\alpha}.a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}\) ;

              \(\dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}\) ;

              \(\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha\beta}\) ;

              \(\left(ab\right)^{\alpha}=a^{\alpha}.b^{\alpha}\) ;

              \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\alpha}=\dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\).

Nếu \(a>1\) thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\Leftrightarrow\alpha>\beta\)

Nếu \(a< 1\) thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\Leftrightarrow\alpha< \beta\).