§1. Hàm số

I. ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ

1. Hàm số. Tập xác định của hàm số

Giả sử có hai đại lượng biến thiên \(x\) và \(y\), trong đó \(x\) nhận giá trị thuộc tập số \(D\).

Nếu với mỗi giá trị của \(x\) thuộc tập \(D\) có một và chỉ một giá trị tương ứng của \(y\) thuộc tập số thực \(R\) thì ta có một hàm số. 

Ta gọi \(x\) là biến số và \(y\) là hàm số của \(x\). 

Tập hợp \(D\) được gọi là tập xác định của hàm số.

2. Cách cho hàm số

Hàm số cho bằng bảng

Ví dụ: Bảng dưới đây được trích từ trang web của Hiệp hội liên doanh Việt Nam - Thái Lan ngày 26 - 10 - 2005 về thu nhập bình quân đầu người (TNBQĐN) của nước ta từ năm 1995 đến năm 2004:

Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là \(y\)) và thời gian \(x\) (tính bằng năm).

Với mỗi giá trị \(x\in D=\left\{1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2004\right\}\) có một giá trị duy nhất \(y\). 

Vậy ta có một hàm số. Tập hợp \(D\) là tập xác định của hàm số này.

Các giá trị \(y=200;282;295;...\) được gọi là các giá trị của hàm số tương ứng tại \(x=1995;1996;1997;...\)

Hàm số cho bằng biểu đồ

Hàm số cho bằng công thức

Các hàm số \(y=ax+b\), \(y=\dfrac{a}{x}\), \(y=ax^2\), ... là những hàm số được cho bởi công thức.

Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta có quy ước:

Tập xác định của hàm số \(y=f\left(x\right)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f\left(x\right)\) có nghĩa.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{x-3}\).

Giải:

Biểu thức \(\sqrt{x-3}\) có nghĩa khi \(x-3\ge0\) hay \(x\ge3\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D=[3;+\infty)\).

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số \(y=\dfrac{x-1}{x^2+x-6}\).

Giải:

Biểu thức \(\dfrac{x-1}{x^2+x-6}\) xác định khi \(x^2+x-6\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x-2\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne-3\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D=R\)\\(\left\{-3;2\right\}\).

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số \(y=\sqrt[3]{x^3-7x+6}\).

Giải:

Biểu thức \(\sqrt[3]{x^3-7x+6}\) xác định với mọi số thực \(x\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(R\).

Chú ý: Một hàm số có thể được cho bởi hai, ba,... công thức.

Chẳng hạn, cho hàm số \(y=\left\{{}\begin{matrix}2x+1,\forall x\ge0\\-x^2,\forall x< 0\end{matrix}\right.\) nghĩa là với \(x\ge0\), hàm số được xác định bởi biểu thức \(f\left(x\right)=2x+1\), với \(x< 0\) hàm số được xác định bởi biểu thức \(g\left(x\right)=-x^2\).

3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên tập \(D\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\left(x;f\left(x\right)\right)\) trên mặt phẳng tọa độ với mọi \(x\) thuộc \(D\).

Ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) là một đường thẳng; đồ thị của hàm số bậc hai \(y=ax^2\) là một parabol,..

Ví dụ:

+) Đồ thị hàm số \(f\left(x\right)=x+1\):

+) Đồ thị hàm số \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^2\):

Ta nói \(y=ax+b\) là phương trình của một đường thẳng;

          \(y=ax^2\left(a\ne0\right)\) là phương trình của một đường parabol.

II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1. Ôn tập

Tổng quát:

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng \(\left(a;b\right)\) nếu

        \(\forall x_1,x_2\in\left(a;b\right):x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng \(\left(a;b\right)\) nếu

       \(\forall x_1,x_2\in\left(a;b\right):x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\)

2. Bảng biến thiên

Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.

Ví dụ: Bảng biến thiên của hàm số \(y=x^2\):

Nhận xét: Hàm số \(y=x^2\) xác định trên khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) và khi \(x\) dần tới \(+\infty\) hoặc dần tới \(-\infty\) thì \(y\) đều dần tới \(+\infty\).

                Tại \(x=0\) thì \(y=0\).

Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\), ta vẽ mũi tên đi xuống (từ \(+\infty\) đến 0)

Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;-\infty\right)\), ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến \(+\infty\)).

III. TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

1. Hàm số chẵn. Hàm số lẻ.

Tổng quát:

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) với tập xác định \(D\) gọi là hàm số chẵn nếu

           \(\forall x\in D\) thì \(-x\in D\) và \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\)

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) với tập xác định \(D\) gọi là hàm số lẻ nếu

          \(\forall x\in D\) thì \(-x\in D\) và \(f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\)

Ví dụ 1: Xét hàm số \(y=f\left(x\right)=x^2\) ta thấy: 

    \(f\left(1\right)=f\left(-1\right)=1\)  ;

    \(f\left(2\right)=f\left(-2\right)=4\)  ;

    \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\) ; ...

Do vậy, hàm số \(y=x^2\) là một hàm số chẵn.

Ví dụ 2: Xét hàm số \(y=g\left(x\right)=-3x\) ta thấy:

    \(g\left(-1\right)=3;g\left(1\right)=-3\Rightarrow g\left(-1\right)=-g\left(1\right)\) ;

    \(g\left(-2,5\right)=7,5;g\left(2,5\right)=-7,5\Rightarrow g\left(-2,5\right)=-g\left(2,5\right)\) ; ...

Do vậy hàm số \(y=g\left(x\right)=-3x\) là một hàm số lẻ.

Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là một hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ.

Chẳng hạn hàm số \(y=2x+1\) không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ vì giá trị của nó tại \(x=1\) và \(x=-1\) tương ứng là 3 và -1, hai giá trị này không bằng nhau và cũng không đối nhau.

2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng;

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ:

+) Đồ thị hàm số \(y=x^2\) nhận trục tung làm trục đối xứng:

+) Đồ thị hàm số \(y=x\) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng: