Question

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2ⁿ -1 chia hết cho7

Answer 1

+ Nếu n = 3k thì 2ⁿ - 1 = 2^3k - 1 = 8^k - 1

Có: \(8\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow8^k\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow8^k-1\equiv0\left(mod7\right)\)

(TM)

+Nếu n = 3k+1 thì 2ⁿ - 1 = 2^3k+1 - 1 = 8^k.2 - 1

Vì \(8^k\equiv1\left(mod7\right)\)nên \(8^k.2\equiv2\left(mod7\right)\Rightarrow8^k.2-1\equiv1\left(mod7\right)\)(ko TM)

+ Nếu n = 3k+2 thì 2ⁿ - 1 = 2^3k+2 - 1 = 8^k.4 - 1

Vì 8^k \(\equiv\) 1 (mod7) nên 8^k.4 \(\equiv\) 4 (mod7) => 8^k.4 - 1\(\equiv\) 3 (mod7) (ko TM)

Vậy n = 3k (k thuộc N*) thỏa mãn đề