a) Gọi số tự nhiên có hai chữ số lớn nhất cần tìm là a.
Ta có số tự nhiên ít ước nhất là 1 vì Ư(1) = {1}.
Mà a có hai chữ số nên a ≠ 1. Do đó, ta kết luận rằng a là số nguyên tố. (Vì số nguyên tố chỉ có hai ước)
Vì a lớn nhất nên suy ra a = 97.
Vậy số tự nhiên cần tìm bằng 97.
b) Gọi A là số tự nhiên lớn nhất có 12 ước.
- Xét A chỉ có 1 thừa số, tức là: A = ax
Ta có: x + 1 = 12
⇒ x = 11.
Ta thấy 711 = 1977326743 có 12 ước.
- Xét A có 2 thừa số, tức là: A = ax . by
Ta có: (x + 1) (y + 1) = 12 = 12 . 1 = 2 . 6
= \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=12\\y+1=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+1=12\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=6\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=6\\y+1=2\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=11\\y=0\end{matrix}\right.\)(loại) \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=11\end{matrix}\right.\) (loại)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\) (nhận) \(\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=1\end{matrix}\right.\) (nhận)
*Với x = 1 ; y = 5, ta có:
A = ax . by = 51 . 75 = 84035 (có 12 ước).
*Với x = 5 ; y = 1, ta có:
A = ax . by = 55 . 71 = 21875 (có 12 ước).
- Xét A có 3 thừa số, tức là: A = ax . by . cz
Ta có: (x + 1) (y + 1) (z + 1) = 12 = 2.2.3
= \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=2\\z+1=3\end{matrix}\right.\) (nhận) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y+1=3\\z+1=2\end{matrix}\right.\)(nhận)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=3\\y+1=2\\z+1=2\end{matrix}\right.\) (nhận)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=2\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=1\end{matrix}\right.\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\\z=1\end{matrix}\right.\)
*Với x = 1 ; y = 1 ; z = 2, ta có:
A = ax . by . cz = 31 . 51 . 72 = 735
*Với x = 1 ; y = 2 ; z = 1, ta có:
A = ax . by . cz = 31 . 52 . 71 = 525
*Với x = 2 ; y = 1 ; z = 1, ta có:
A = ax . by . cz = 32 . 51 . 71 = 315
Theo đề bài, A phải là giá trị lớn nhất có thể nên suy ra, A = 1977326743.
Vậy số cần tìm là 1977326743. ^_^
