\(\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=\left(2014b+1\right)^4\)
Ta có: \(2014b\) là số chẵn nên \(2014b+1\) là số lẻ
Nên \(\left(2014b+1\right)^2\) lẻ do đó \(\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) là số lẻ
\(\Rightarrow a+1,a^2+1\) đều lẻ
Đặt \(ƯC\left(a+1,a^2+1\right)=d\)
\(\Rightarrow a+1⋮d,a^2+1⋮d\)
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)⋮d,a^2+1⋮d\)
\(\Rightarrow a^2+a-\left(a^2+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow a-1⋮d\)
Mà \(a+1⋮d\) nên \(a+1-\left(a-1\right)⋮d\) hay \(2⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
Nhưng \(a+1,a^2+1\) đều lẻ nên \(d=\pm1\) hay \(a=1,a^2+1\) nguyên tố cùng nhau
Vì \(\left(2014b+1\right)^4\) là số chính phương
Đặt:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+1=x^2\\a^2+1=y^2\end{matrix}\right.\)với \(x,y\in N\)
\(\Rightarrow\left(x^2-1\right)^2=y^2-1\)
\(\Rightarrow y^2-\left(x^2-1\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left(y-x+1\right)\left(y+x+1\right)=1\)
Vì \(x+y+1\in N\)
Nên ta chỉ có trường hợp sau
\(y-x+1=1,y+x+1=1\) được \(x=y=0\)
\(\Rightarrow a+1=0,a^2+1=0\) ( loại )
Vậy không có \(x,y\) thõa mãn
