Một đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi 3 môn Văn, Toán, Ngoại ngữ do
thành phố tổ chức đạt được 15 giải. Hỏi đội tuyển học sinh giỏi đó có bao
nhiêu học sinh? Biết rằng:
Học sinh nào cũng có giải.
Bất kỳ môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh chỉ đạt 1 giải.
Bất kỳ hai môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả hai môn.
Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 3 môn.
Tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần.
Gọi số học sinh đạt giải cả 3 môn là a (học sinh)
Gọi số học sinh đạt giải cả 2 môn là b (học sinh)
Gọi số học sinh chỉ đạt giải 1 môn là c (học sinh)
Tổng số giải đạt được là:
3 x a + 2 x b + c = 15 (giải).
Vì tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần nên a < b < c.
Vì bất kỳ 2 môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn nên:
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Toán.
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Toán và Ngoại Ngữ.
- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Ngoại Ngữ.
Do vậy b= 3.
Giả sử a = 2 thì b bé nhất là 3, c bé nhất là 4; do đó tổng số giải bé nhất là:
3 x 2 + 2 x 3 + 4 = 16 > 15 (loại). Do đó a < 2, nên a = 1.
Ta có: 3 x 1 + 2 x b + c = 15 suy ra: 2 x b + c = 12.
Nếu b = 3 thì c = 12 - 2 x 3 = 6 (đúng).
Nếu b = 4 thì c = 12 - 2 x 4 = 4 (loại vì trái với điều kiện b < c)
Vậy có 1 bạn đạt 3 giải, 3 bạn đạt 2 giải, 6 bạn đạt 1 giải.
Đội tuyển đó có số học sinh là:
1 + 3 + 6 = 10 (bạn).
Gọi số học sinh đạt giải cả 3 môn là:a
Gọi số học sinh đạt giải hai môn là:b.
Gọi số học sinh đạt giải 1 môn là :c
Tổng số học sinh đạt giải là:
3 x a +2 x b+c=15(giải)
Vì tổng số học sinh đạt 3 giải ,2 giải ,1 giải tăng dần nên a<b<c
Vì bất kì 2 môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả hai môn nên:
-Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả hai môn Toán và Văn
-Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả hai môn Toán và Ngoại Ngữ
-Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả hai môn Văn và Ngoại Ngữ
Suy ra:b=3.Giả sử:a=2 thì b ≥ 3;c ≥ 4
Suy ra tổng số học sinh đạt giải lớn hơn hoặc bằng:
2 x 3+3 x 2+4=16>15(loại)
Do đó:a<2 nên a=1
Ta có:3 x 1+2 x b+c=15 nên 2 x b+c=12
Nếu b=3 thì c=12-2 x 3=6(thỏa mãn)
Nếu b = 4 thì c= 12 - 2 x 4=4 nên b = c(loại)
Vậy có 1 bạn đạt 3 giải,3 bạn đạt hai giải và 6 bạn đạt 1 giải
Đội tuyển đó có số học sinh là:
1+3+6=10 (học sinh)
Đáp số:10 học sinh
