Question

ìm số nguyên dương n thỏa mãn : 1! + 2! +3! + .....+n! = p^2 + q^2 + 5895 Trong đó p và q là 2 số nguyên tố . quy ước rằng n! = 1 . 2 . 3 . 4 . .... . n

Answer 1

Ta thấy 1! + 2! = 3 \(⋮\) 3, còn từ 3! trở đi đương nhiên đều chia hết cho 3.

Do đó p² + q² + 5895 \(⋮\) 3. Mà 5895 \(⋮\) 3 nên p² + q² \(⋮\) 3 (1).

Lại có: p² và q² chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1 do chúng đều là số chính phương (2).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) p² \(⋮\) 3 và q² \(⋮\) 3 \(\Rightarrow\) p \(⋮\) 3 và q \(⋮\) 3. Mà p và q là các snt nên p = q = 3 \(\Rightarrow\) 1! + 2! + 3! + ... + n! = 5913.

Vì n! < 5913 nên n < 8 \(\Rightarrow\) n \(\in\) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Thử n với các số đó ta chỉ có n = 7 thỏa mãn.

Vậy n = 7.