Question

CMR;

một số chia hết cho 13 khi và chỉ khi tổng của số chục và 4 lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho 13

Answer 1

Gọi số chục là a;chữ số hàng đơn vị là b(a,b thuộc N) khi đó số đã cho là P=10a+b

Tổng của số chục và 4 lần chữ số hàng đơn vị là Q=a+4b

Ta phải chứng minh:P chia hết cho 13\(\Leftrightarrow\)Q chia hết cho 13

Thật vậy: Nếu P chia hết cho 13 tức là:10a+b chia hết cho 13\(\Rightarrow\)9P chia hết cho 13(1)

Ta xét; 9P+Q=9(10a+b)+(a+4b)=90a+9b+a+4b

                                                        =91a+13b

Vì 91 chia hết cho 13 nên 91a chia hết cho 13

     13 chia hết cho 13 nên 13a chia hết cho 13

\(\Rightarrow\)91a+13b chia hết cho 13

\(\Rightarrow\)9P+Q chia hết cho 13(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)Q chia hết cho 13

Mặt khác: Nếu Q chia hết cho 13

Xét 9P+Q=91a+13b chia hết cho 13

\(\Rightarrow\)9P chia hết cho 13

Vì(9;130=1 nên P chia hết cho 13

Vậy P chia hết cho 13\(\Leftrightarrow\)Q chia hết cho 13