Question

Chứng minh: 11.....1( 2n chữ số ) - 22.....2( n chữ số ) là số chính phương.

Answer 1

Ta có:

\(100=2.50\)

Đặt \(50=n\)

\(\Rightarrow100=2.n\)

Ta có:

\(\dfrac{11.....1}{2n-chữ-số-1}\) + \(\dfrac{22....2}{n-chữ-số-2}\)

\(=\dfrac{10^{2n}-1}{9}-2.\dfrac{10^n-1}{9}\)

\(=\dfrac{10^{2n}}{9}-\dfrac{1}{9}-2.\dfrac{10^n}{9}+\dfrac{2}{9}\)

\(=\left(\dfrac{10^n}{3}\right)^2-2.\dfrac{10^n}{3}.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\)

\(=\left(\dfrac{10^n}{3}-\dfrac{1}{3}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{10^n-1}{3}\right)^2\)

Vì \(10^{n-1}\) không chia hết cho 3.

\(\Rightarrow\dfrac{10^n-1}{3}\in Z\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{10^n-1}{3}\right)^2\) là số chính phương.

Hay \(11.....1-22.....2\) là số chính phương. ( đpcm )