Ta chứng minh điều ngược lại đúng tức là nếu a=b=c thì A là một số chính phương
Thay a=b=c vào A ta có:
\(A=\dfrac{a^2+a^2+a^2-a\cdot a-a\cdot a-a\cdot a}{2}=\dfrac{3a^2-3a^2}{2}=0\) là số chính phương (Xong bài toán mà bạn nói lớp 8 ko làm dc)
Đặt: B = \(a^2+b^2+c^2-\) ab - bc - ac
\(\Rightarrow\) B = \(\dfrac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
\(\Rightarrow\) B =\(\dfrac{1}{2}\left(a^2-2ab+b+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+c\right)\)
\(\Rightarrow\) B = \(\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\)
Khi đó: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)
\(\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) \(B\ge0\)
Làm đc thế thoi!
Tiếp nè:
+Nếu a = b khác c, ta có:
A = \(\dfrac{\left(a-c\right)^2+\left(a-c\right)^2}{4}=\dfrac{2\left(a-c\right)^2}{4}=\dfrac{\left(a-c\right)^2}{2}\Rightarrow\) A ko là số chính phương
+ Nếu a = c khác b, ta có:
\(A=\dfrac{\left(c-b\right)^2+\left(b-c\right)^2}{4}=\dfrac{\left(b-c\right)^2+\left(b-c\right)^2}{4}=\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}\Rightarrow\) A ko là 1 số chính phương
+Nếu a = c khác b, ta có:
A = \(\dfrac{\left(a-c\right)^2+\left(a-c\right)^2}{4}=\dfrac{\cdot\left(a-c\right)^2}{2}\) \(\Rightarrow\) A ko là 1 số chính phương
+ Nếu \(a\ne b\ne c\) tức là giả sử a > b > c > 0 \(\Rightarrow\) (a - c) > (b - c)
Ta có: A > 0
\(\Rightarrow A=\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2}{4}>\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2}{4}=\dfrac{2\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2}{4}\)
+ Nếu: a - b > b - c \(\Rightarrow\) A > \(\dfrac{3\left(b-c\right)^2}{4}\) ko là số chính phương
-------: a - b < b - c --------------------------------------------------
\(\Rightarrow A=\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2}{4}< \dfrac{\left(a-c\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-c\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(a-c\right)^2}{4}\)
ko phải là số chính phương
Tóm lại A là số chính phương khi a=b=c
