Question

a)C/m :A=(2^n-1)(2^n+1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

b)Tìm các số tự nguyên n để B=n^2-n+13 là số chính phương ?

Answer 1

Lời giải:

a) Ký hiệu $\text{BS3}$ là bội số của $3$

$A=(2^n-1)(2^n+1)=2^{2n}-1=4^n-1=(3+1)^n-1$

$\text{BS3}+1-1=\text{BS3}\vdots 3$

Vậy $A\vdots 3$ với mọi $n\in\mathbb{N}$

b)

Đặt $B=n^2-n+13=a^2$ với $a$ là số tự nhiên. Dễ thấy $a>1$

$4n^2-4n+52=(2a)^2$

$\Leftrightarrow (2n-1)^2+51=(2a)^2$

$\Leftrightarrow 51=(2a)^2-(2n-1)^2=(2a-2n+1)(2a+2n-1)$

Đây là dạng phương trình tích đơn giản với các thừa số dương do $2n+2n-1>0$ với mọi $a,n\in\mathbb{N}; a>1$.