Lời giải:
Điều kiện bổ sung: $a\in\mathbb{N}$
Ta có:
$a^2+a+2\vdots a-1$
$\Leftrightarrow a(a-1)+2(a-1)+4\vdots a-1$
$\Rightarrow 4\vdots a-1$
$\Rightarrow a-1\in\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 4\right\}$
$\Rightarrow a\in\left\{0;2;-1;3;5;-3\right\}$
Mà $a$ là số tự nhiên nên $a\in\left\{0;2;3;5\right\}$